Локальное поле

Локальное поле — определённый тип полей с топологией, часто возникающих как пополнения полей.

Определение

Локально компактное топологическое поле с недискретной топологией называется локальным.

Типы

Существует два основных вида локальных полей: те, в которых абсолютное значение архимедово, и те, в которых это не так. Первые называют архимедовыми локальными полями, а вторые — неархимедовыми локальными полями.

Любое локальное поле изоморфно (как топологическое поле) одному из следующих полей:

• Архимедовы локальные поля (характеристика равна нулю): поле вещественных чисел $\mathbb {R}$ и поле комплексных чисел $\mathbb {C}$.
• Неархимедовы локальные поля нулевой характеристики: р-адические числа $\mathbb {Q} _{p}$ и их конечные расширения.
• Неархимедовы локальные поля характеристики $p\neq 0$: формальные ряды Лорана над конечным полем $\mathbb {F} _{p^{n}}$. (Все их конечные расширения тоже изоморфны полям того же вида.)

Свойства

Общие свойства

• Аддитивная группа локального поля, как любая локально компактная топологическая группа, обладает единственной (с точностью до умножения на положительное число) мерой Хаара μ.
• На любом локальном поле $K$ можно ввести абсолютную величину $|a|$ такую, что

  $|a|={\frac {\mu (aX)}{\mu (X)}}$

для некоторого (а значит и любого) измеримого подмножества $X\subset K$ с ненулевой конечной мерой Хаара.

Неархимедовы поля

• В неархимедовом локальном поле $K$ с абсолютной величиной $|{*}|$ можно дать следующие определения:
  • Кольцо целых чисел

    ${\mathcal {O}}=\{a\in K:|a|\leqslant 1\}.$

    • Оно образует дискретное нормированное кольцо и компактный шар в $(K,|{*}|)$.
  • Единицы в кольце целых чисел определяются как ${\mathcal {O}}^{\times }=\{a\in K:|a|=1\}$.
    • Они образуют группу и единичную сферу в $(K,|{*}|)$.
  • Единственный ненулевой простой идеал ${\mathfrak {m}}$ в кольце целых чисел является открытым единичным шаром

    $\{a\in K:|a|<1\},$

и его образующий элемент $\omega \in {\mathfrak {m}}$ называется униформизирующим элементом $K$.

• Поле остатков $k={\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}$ является конечным, поскольку компактно и дискретно.
• При этом $|\omega |={\tfrac {1}{|k|}}$, где $|k|$ — мощность поля остатков $k$.

• Каждый ненулевой элемент $a\in K$ можно записать как $a=\omega ^{n}\cdot u$, где $u$ — единичный элемент, $n$ — целое число, определяемое однозначно по $a$.
  • В частности $|a|=|k|^{-n}=|\omega |^{n}.$

См. также

Глобальное поле