p-адическое число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Для заданного фиксированного простого числа p p-ади́ческое число (произносится: пэ-адическое; соответственно: два-адическое, три-адическое и т.п.) — элемент расширения поля рациональных чисел, являющегося пополнением поля рациональных чисел относительно p-адической нормы, определяемой на основе свойств делимости целых чисел на р.

p-адические числа были введены Гензелем (нем.) в 1897 году[1].

Поле p-адических чисел обычно обозначается \mathbb Q_p или \mathbf Q_p.

Алгебраическое построение[править | править исходный текст]

Целые p-адические числа[править | править исходный текст]

Стандартное определение[править | править исходный текст]

Целым p-адическим числом для заданного простого p называется бесконечная последовательность x=\{x_1,x_2,\ldots\} вычетов x_n по модулю p^{n}, удовлетворяющих условию:

x_n\equiv x_{n+1}\pmod{p^n}.

Сложение и умножение целых p-адических чисел определяется как почленное сложение и умножение таких последовательностей. Для них непосредственно проверяются все аксиомы кольца.

Определение через проективный предел[править | править исходный текст]

В терминах проективных пределов кольцо целых p-адических чисел определяется как предел

\lim_{\leftarrow}\Bbb{Z} / {p^n}\Bbb{Z}

колец \Bbb{Z} / {p^n}\Bbb{Z} вычетов по модулю p^n относительно естественных проекций \Bbb{Z}/{p^{n+1}}\Bbb{Z} \to \Bbb{Z}/{p^n}\Bbb{Z}.

Эти рассмотрения можно провести в случае не только простого числа p, но и любого составного числа m — получится т. н. кольцо m-адических чисел, но это кольцо в отличие от \Bbb{Z}_p обладает делителями нуля, поэтому дальнейшие построения, рассматриваемые ниже, к нему неприменимы.

Свойства[править | править исходный текст]

Кольцо целых p-адических чисел обычно обозначается \Bbb{Z}_p. Обычные целые числа вкладываются в \Bbb{Z}_p очевидным образом: x=\{x,x,\ldots\} и являются подкольцом.

Пример выполнения арифметических операций над 5-адическими числами.

Беря в качестве элемента класса вычетов число a_n = x_n\,\bmod\,{p^n} (таким образом, 0\le a_n<p^n), мы можем записать каждое целое p-адическое число в виде x=\{a_1,a_2,\ldots\} однозначным образом. Такое представление называется каноническим. Записывая каждое an в p-ичной системе счисления a_n=b_n\ldots b_2b_1 и, учитывая, что a_n\equiv a_{n+1}\pmod{p^n}, мы можем всякое p-адическое число в каноническом виде представить в виде x=\{b_1, b_2b_1, b_3b_2b_1,\ldots\} или записать в виде бесконечной последовательности цифр в p-ичной системе счисления x=\{\ldots b_n\ldots b_2b_1\}. Действия над такими последовательностями производятся по обыкновенными правилами сложения, вычитания и умножения «столбиком» в p-ичной системе счисления.

В такой форме записи натуральным числам и нулю соответствуют p-адические числа с конечным числом ненулевых цифр, совпадающих с цифрами исходного числа. Отрицательным числам соответствуют p-адические числа с бесконечным числом ненулевых цифр, например в пятеричной системе −1=…4444=(4).

p-адические числа[править | править исходный текст]

Определение как поля частных[править | править исходный текст]

p-адическим числом называется элемент поля частных \Bbb{Q}_p кольца \Bbb{Z}_p целых p-адических чисел. Это поле называется полем p-адических чисел.

Свойства[править | править исходный текст]

Поле p-адических чисел содержит в себе поле рациональных чисел.

Пример выполнения деления 5-адических чисел.

Нетрудно доказать, что любое целое p-адическое число некратное p обратимо в кольце \Bbb{Z}_p, а кратное p однозначно записывается в виде xp^n, где x не кратно p и поэтому обратимо, а n>0. Поэтому любой ненулевой элемент поля \Bbb{Q}_p может быть записан в виде xp^n, где x не кратно p, а n любое; если n отрицательно, то, исходя из представления целых p-адических чисел в виде последовательности цифр в p-ичной системе счисления, мы можем записать такое p-адическое число в виде последовательности x=\{\ldots b_k\ldots b_2b_1,b_0b_{-1}\ldots b_{n+1}\}, то есть, формально представить в виде p-ичной дроби с конечным числом цифр после запятой и, возможно, бесконечным числом ненулевых цифр до запятой. Деление таких чисел можно также производить аналогично «школьному» правилу, но начиная с младших, а не старших разрядов числа.

Метрическое построение[править | править исходный текст]

Любое рациональное число r можно представить как r=p^n\frac ab где a и b целые числа, не делящиеся на p, а n — целое. Тогда |r|_p — p-адическая норма r — определяется как p^{-n}. Если r=0, то |r|_p=0.

Поле p-адических чисел есть пополнение поля рациональных чисел с метрикой d_p, определённой p-адической нормой: d_p(x,y)=|x-y|_p. Это построение аналогично построению поля вещественных чисел как пополнения поля рациональных чисел при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величиной.

Норма |r|_p продолжается по непрерывности до нормы на \Bbb{Q}_p.

Свойства[править | править исходный текст]

  • Каждый элемент x поля p-адических чисел может быть представлен в виде сходящегося ряда
x=\sum_{i=n_0}^\infty a_ip^i
где n_0 — некоторое целое число, а a_i — целые неотрицательные числа, не превосходящие p-1. А именно, в качестве a_i здесь выступают цифры из записи x в системе счисления с основанием p. Такая сумма всегда сходится в метрике d_p к самому x.
|x-z|_p\le\max\{|x-y|_p,|y-z|_p\}.
  • Числа x\in \mathbb Q_p с условием |x|_p\le 1 образуют кольцо \Bbb{Z}_p целых p-адических чисел, являющееся пополнением кольца целых чисел \Bbb{Z}\subset \Bbb{Q} в норме |x|_p.
  • Числа x\in \Bbb{Q}_p с условием |x|_p= 1 образуют мультипликативную группу и называются p-адическими единицами.
  • Совокупность чисел x\in \Bbb{Q}_p с условием |x|_p<1 является главным идеалом в \Bbb{Z}_p с образующим элементом p.
  • метрическое пространство (\Bbb{Q}_p,d_p) гомеоморфно Канторову множеству, а пространство (\Bbb{Q}_p,d_p) гомеоморфно Канторову множеству с вырезанной точкой.
  • Для различных p нормы |x|_p независимы, а поля \Bbb{Q}_p неизоморфны.
  • Для любых элементов r_\infty, r_2, r_3, r_5, r_7, … таких, что r_\infty \in \Bbb R и r_p\in \Bbb Q_p, можно найти последовательность рациональных чисел x_n таких, что для любого p |x_i-r_p|_p\to 0 и |x_i-r_\infty|\to 0.

Применения[править | править исходный текст]

  • Если F(x_1,x_2,\ldots,x_n) — многочлен с целыми коэффициентами, то разрешимость при всех k сравнения
F(x_1,x_2,\cdots,x_n)\equiv 0 \pmod{p^k}
эквивалентна разрешимости уравнения
F(x_1,x_2,\cdots,x_n) = 0
в целых p-адических числах. Необходимым условием разрешимости этого уравнения в целых или рациональных числах является его разрешимость в кольцах или, соответственно, полях p-адических чисел при всех p, а также в поле вещественных чисел. Для некоторых классов многочленов (например, для квадратичных форм) это условие является также достаточным.
На практике для проверки разрешимости уравнения в целых p-адических числах достаточно проверить разрешимость указанного сравнения для определенного конечного числа значений k. Например, согласно лемме Гензеля (англ.), при n=1 достаточным условием для разрешимости сравнения при всех натуральных k служит наличие простого решения у сравнения по модулю p (то есть, простого корня у соответствующего уравнения в поле вычетов по модулю p). Иначе говоря, при n=1 для проверки наличия корня у уравнения в целых p-адических числах, как правило, достаточно решить соответствующее сравнение при k=1.

Литература[править | править исходный текст]

  • Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел, — М.: Наука, 1985.
  • Коблиц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции, — М.: Мир, 1982.
  • Серр Ж.-П. Курс арифметики, — М.: Мир, 1972.
  • Б. Беккер, С. Востоков, Ю. Ионин 2-адические числа // Квант. — 1979. — Т. 2. — С. 26—31.

Ссылки[править | править исходный текст]

  1. Kurt Hensel Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. — 1897. — Т. 6. — № 3. — С. 83—88. (нем.)