Треугольная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Треугольная функция

Треугольная функция, треугольный импульс — специальная математическая функция, определяемая как кусочно-линейная в виде:

\operatorname{tri}(t) = \and (t) = 
\begin{cases}
1 - |t|; & |t| < 1 \\
0 & \mbox{otherwise} 
\end{cases}

или через свёртку двух единичных прямоугольных функций:

\operatorname{tri}(t) = \operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)

Функция находит применение в обработке сигналов и радиосвязи, представляя собой идеализированный сигнал, являющийся составной частью более сложных реальных сигналов. Также применяется в широтно-импульсной модуляции для передачи и детектирования цифровых сигналов.

Преобразование Фурье треугольного импульса:

\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty \textrm{tri}(t)e^{-i \omega t} \, dt = \sqrt{2\pi} \left( \frac{\textrm{sinc}(\frac{\omega}{2\pi})}{\sqrt{2\pi}}   \right)^2 =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \mathrm{sinc}^2\left(\frac{\omega}{2\pi}\right)

\int\limits_{-\infty}^\infty \mathrm{tri}(t)\cdot e^{-i 2\pi f t} \, dt \ 
= \ \mathrm{sinc}^2(f)


Эти результаты следуют из преобразования Фурье прямоугольной функции и свойства свёртки преобразований Фурье двух сигналов.

См. также[править | править исходный текст]