Треугольная функция

Треугольная функция

Треугольная функция, треугольный импульс — специальная математическая функция, определяемая как кусочно-линейная в виде:

$\operatorname{tri}(t) = \and (t) = \begin{cases} 1 - |t|; & |t| < 1 \\ 0 & \mbox{otherwise} \end{cases}$

или через свёртку двух единичных прямоугольных функций:

$\operatorname{tri}(t) = \operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)$

Функция находит применение в обработке сигналов и радиосвязи, представляя собой идеализированный сигнал, являющийся составной частью более сложных реальных сигналов. Также применяется в широтно-импульсной модуляции для передачи и детектирования цифровых сигналов.

Преобразование Фурье треугольного импульса:

$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty \textrm{tri}(t)e^{-i \omega t} \, dt$ $= \sqrt{2\pi} \left( \frac{\textrm{sinc}(\frac{\omega}{2\pi})}{\sqrt{2\pi}} \right)^2$ $=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \mathrm{sinc}^2\left(\frac{\omega}{2\pi}\right)$

$\int\limits_{-\infty}^\infty \mathrm{tri}(t)\cdot e^{-i 2\pi f t} \, dt \ = \ \mathrm{sinc}^2(f)$

Эти результаты следуют из преобразования Фурье прямоугольной функции и свойства свёртки преобразований Фурье двух сигналов.

См. также

• Прямоугольная функция