Уравнения Прока

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Уравнения Прока — обобщение уравнений Максвелла, призванное описывать массивные частицы со спином 1. Уравнения Прока обычно записываются в виде

\partial_i F^{i k} + m^2 A^k= 0 \,
 F^{k l}= \partial^k A^l - \partial^l A^k \, ,

где \ F^{i k} — антисимметричный тензор электромагнитного поля:

F^{i k} = \left(
\begin{matrix}
0 & -E_x & -E_y & -E_z \\
E_x & 0 & -B_z & B_y \\
E_y & B_z & 0 & -B_x \\
E_z & -B_y & B_x & 0
\end{matrix}
\right)

Уравнения Прока также могут быть представлены в виде

\partial_i F^{i k} + m^2 A^k= 0 \,
 ( \partial_k \partial^k + m^2) A^l=0 \,.

Уравнения Прока не являются калибровочно-инвариантными.


Лагранжева плотность[править | править вики-текст]

Рассматривается поле четырех-потенциала Aμ = (φ/c, A), где φ — это электростатический потенциал, A — магнитный потенциал. Лагранжева плотность задана следующим образом:

\mathcal{L}=-\frac{1}{16\pi}(\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu)(\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu)+\frac{m^2 c^2}{8\pi \hbar^2}A^\nu A_\nu.

где c — скорость света, a ħ — приведенная постоянная Планка.

Вывод уравнения[править | править вики-текст]

Уравнение Эйлера-Лагранжа движения для такого Лагранжиана, также называемое Уравнением Прока, имеет следующий вид:

\partial_\mu(\partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu)+\left(\frac{mc}{\hbar}\right)^2 A^\nu=0

что эквивалентно следующему уравнению

\left[\partial_\mu \partial^\mu+ \left(\frac{mc}{\hbar}\right)^2\right]A^\nu=0

при условии

\partial_\mu A^\mu=0 \!

которое является просто калибровкой Лоренца. При условии, что m = 0, уравнения обращаются в уравнения Максвелла в вакууме (то есть подразумевается отсутствие зарядов и токов). Уравнение Прока тесно связано с уравнением Клейна—Гордона—Фока.

В более привычных терминах уравнение имеет вид:

\Box \phi - \frac{\partial }{\partial t} \left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial \phi}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{A}\right) =-\left(\frac{mc}{\hbar}\right)^2\phi \!
\Box \mathbf{A} + \nabla \left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial \phi}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{A}\right) =-\left(\frac{mc}{\hbar}\right)^2\mathbf{A}\!

Литература[править | править вики-текст]

  • Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Квантовые поля. — М.: Наука, 1980. — 320 с., стр. 29, 33.
  • Райдер Л. Квантовая теория поля. — М.: Мир, 1987. — 511 с., стр.86-87.
  • Ициксон К., Зюбер Ж. Б. Квантовая теория поля. Том 1. — М.: Мир, 1984. - 448 с., с. 166.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

{{rq|refless|isbn}