Тензор электромагнитного поля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
 Просмотр этого шаблона  Классическая электродинамика
VFPt Solenoid correct2.svg
Электричество · Магнетизм
См. также: Портал:Физика

Тензор электромагнитного поля — это антисимметричный, дважды ковариантный тензор, являющийся обобщением напряжённости электрического и индукции магнитного поля для произвольных преобразований координат. Он используется для инвариантной формулировки уравнений электродинамики, в частности, с его помощью можно легко обобщить электродинамику на случай наличия гравитационного поля.

Определение[править | править исходный текст]

Тензор электромагнитного поля определяется через 4-потенциал по формуле

\mathrm{F}_{\mu \nu} = \frac{\partial A_\nu}{\partial x^\mu} - \frac{\partial A_\mu}{\partial x^\nu}

Хотя он выражается через обычные производные, а не ковариантные, он является тензором относительно произвольных преобразований координат. Это следует из того, что то же выражение можно записать через ковариантные производные:

\mathrm{F}_{\mu \nu} = \frac{\partial A_\nu}{\partial x^\mu} - \frac{\partial A_\mu}{\partial x^\nu} = \nabla_\mu A_\nu - \nabla_\nu A_\mu

Если рассматривать 4-потенциал как 1-форму на пространстве-времени, то тензор электромагнитного поля выражается как внешняя производная

F = \mathbf d A

Отсюда также очевидна его инвариантность.

Свойства[править | править исходный текст]

  • F_{\mu \nu} — антисимметричный тензор 2-го ранга, имеет 6 независимых компонент.
  • Преобразования координат сохраняют два инварианта, следующих из тензорных свойств поля:
\ F^{\mu \nu} F_{\mu \nu} = 2(B^2 - E^2) = inv
\varepsilon^{\mu \nu \sigma \rho}F_{\mu \nu}F_{\sigma \rho} = -8 \left( \mathbf E \cdot \mathbf B \right) = inv

Выражение для компонент[править | править исходный текст]

Ковариантные компоненты тензора электромагнитного поля имеют вид

F_{\mu \nu} = \left( \begin{matrix}
0 & E_x & E_y & E_z \\
-E_x & 0 & -B_z & B_y \\
-E_y & B_z & 0 & -B_x \\
-E_z & -B_y & B_x & 0
\end{matrix} \right)

Такая зависимость антисимметричного тензора от двух векторов условно записывается как

F_{\mu \nu} = \left( \mathbf E, \mathbf B \right)

Контравариантные компоненты (в пространстве с метрикой Минковского) имеют вид

F^{\mu \nu} = \left( \begin{matrix}
0 & -E_x & -E_y & -E_z \\
E_x & 0 & -B_z & B_y \\
E_y & B_z & 0 & -B_x \\
E_z & -B_y & B_x & 0
\end{matrix} \right)

что обозначается как

F^{\mu \nu} = \left( -\mathbf E, \mathbf B \right)

Таким образом, оказывается, что векторы электрического и магнитного полей преобразуются в общем случае линейных преобразований не как векторы, а как компоненты тензора типа (0,2). Закон их преобразований при переходе в систему отсчёта, движущуюся со скоростью V вдоль оси X, имеет вид

E_x = E_x^\prime,~~~ E_y = \frac{E_y^\prime + {V \over c} B_z^\prime}{\sqrt{1 - {V^2 \over c^2}}},~~~
E_z = \frac{E_z^\prime - {V \over c} B_y^\prime}{\sqrt{1 - {V^2 \over c^2}}}
B_x = B_x^\prime,~~~ B_y = \frac{B_y^\prime - {V \over c} E_z^\prime}{\sqrt{1 - {V^2 \over c^2}}},~~~
B_z = \frac{B_z^\prime + {V \over c} E_y^\prime}{\sqrt{1 - {V^2 \over c^2}}}

Применение[править | править исходный текст]

Непосредственно из определения следует, что

\mathbf d F = 0

В компонентах это выражение принимает вид

\varepsilon_{\mu \rho \nu \sigma}\frac{\partial F_{\mu \rho}}{\partial x^\nu} = 
\frac{\partial F_{\mu \rho}}{\partial x^\nu} + \frac{\partial F_{\rho \nu}}{\partial x^\mu} + \frac{\partial F_{\nu \mu}}{\partial x^\rho} = 0

где \varepsilon_{\mu \rho \nu \sigma} — символ Леви-Чивиты для 4-хмерного пространства. Если расписать это выражение через компоненты векторов электрического и магнитного поля, то оно совпадёт с первой парой уравнений Максвелла:

\operatorname{div}\,\mathbf B = 0
\operatorname{rot}\,\mathbf E = - {1 \over c}\frac{\partial \mathbf B}{\partial t}

Вторая пара уравнений Максвелла выражается через тензор электромагнитного поля как

\nabla_\nu F^{\mu \nu} = - \frac{4\pi}{c} j^\mu

где j^\mu — вектор 4-тока.

Также можно записать их через звёздочку Ходжа: 
d*F=\frac{4\pi}{c} J

Сила Лоренца выражается через вектор 4-скорости частицы и заряд по формуле

\mathcal{F}^\nu = qF^{\mu \nu} u_\mu

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]