Группа Пуанкаре

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Группа (математика)
Rubik's cube.svg
Теория групп
См. также: Портал:Физика

Гру́ппа Пуанкаре́ (неоднородная группа Лоренца) — группа движений пространства Минковского, совпадающая с группой всех вещественных преобразований 4-векторов x=x^\mu=\{x^0,x^1,x^2,x^3\} вида x'^\mu = \Lambda_\nu^\mu x^\nu + a^\mu, где \Lambda — преобразование из группы Лоренца, a^\nu — 4-вектор смещения (трансляции). Элемент группы Пуанкаре обычно обозначается \{a,\Lambda\}, а закон композиции имеет вид

\{a_1, \Lambda_1\} \{a_2,\Lambda_2\} = \{a_1+ \Lambda_1 a_2,\Lambda_1 \Lambda_2\}.

Группа Пуанкаре играет важную роль в специальной теории относительности, являясь группой её глобальной симметрии. Математическая форма

остаётся инвариантной по отношению к преобразованиям Лоренца. Таким образом, группа Пуанкаре характеризует фундаментальную симметрию наиболее важных законов природы.

Группа была введена в 1905 году Анри Пуанкаре. Как и группа Лоренца, группа P имеет четыре компоненты связности, различаемые значениями \det \Lambda и знаком \Lambda_0^0. Это — неабелева, некомпактная и непростая группа Ли. Наиболее важной является компонента P, у которой \det \Lambda=1, \Lambda^0_0>0, содержащая тождественное преобразование.

Группа P — 10-параметрическая: к шести генераторам M_{\mu\nu} группы Лоренца добавляются четыре генератора трансляций.