Группа Пуанкаре

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Группа Пуанкаре (неоднородная группа Лоренца) — группа движений пространства Минковского, совпадающая с группой всех вещественных преобразований 4-векторов $x = x μ = {x 0, x 1, x 2, x 3}$ вида $x'^\mu = \Lambda_\nu^\mu x^\nu + a^\mu$ , где $A$ — преобразование из группы Лоренца, $a ν$ — 4-вектор смещения (трансляции). Элемент группы Пуанкаре обычно обозначается ${a,Λ}$ , а закон композиции имеет вид

{a 1,Λ 1}{a 2,Λ 2} = {a 1 + Λ 1 a 2,Λ 1 Λ 2}.

Группа Пуанкаре играет важную роль в специальной теории относительности, являясь группой её глобальной симметрии. Математическая форма

кинематических законов,
уравнений Максвелла в теории электромагнетизма,
уравнения Дирака в теории электрона,

являются инвариантными при преобразованиях Лоренца. Поэтому может сказать, что группа Пуанкаре выражает фундаментальную симметрию многих из известных фундаментальных законов природы.

Группа была введена в 1905 году Анри Пуанкаре. Как и группа Лоренца, группа $P$ имеет четыре компоненты связности, различаемые значениями $det A$ и знаком $\Lambda_0^0$ . Это — неабелева, некомпактная и непростая группа Ли. Наиболее важной является компонента $P$ , у которой $det A = 1$ , $\Lambda^0_0>0$ , содержащая тождественное преобразование.