Формула Ито

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Формула Ито — формула замены переменной в стохастическом дифференциальном уравнении. Автор формулы Ито Киёси — японский математик-статистик.

Определение[править | править вики-текст]

Дан случайный процесс X=(X_t)_{t\ge0}, заданный на фильтрованном вероятностном пространстве \left(\Omega, \mathfrak{F}, (\mathfrak{F}_t)_{t\ge0}, P \right) с потоком (\mathfrak{F}_t)_{t\ge0}.

Пусть дано стохастическое дифференциальное уравнение

X_t=X_0+\int\limits_0^ta(s,\omega)ds+\int\limits_o^tb(s,\omega)dB_s,

где B=\left(B_t, \mathfrak{F}_t\right)_{t\ge0} — броуновское движение.

Пусть теперь \;F(t,x) — заданная на \R_+ \times \R непрерывная функция из класса C^{1,2}, т.е. имеющая производные \frac{\partial F}{\partial t}, \frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}.

При этих предположениях:


dF(t, X_t) = \left[ \frac{\partial F}{\partial t} +a(t,\omega)\frac{\partial F}{\partial x}+
\frac12b^2(t,\omega)
\frac{\partial^2F}{\partial x^2} \right] dt

+\frac{\partial F}{\partial x}b(t,\omega)dB_t

Говоря более строго, при каждом t>0 для F(t,X_t) справедлива следующая формула Ито:


F(t, X_t) = F(0,X_0) + \int\limits_0^t\left[ \frac{\partial F}{\partial t} +a(s,\omega)\frac{\partial F}{\partial x}+\frac12b^2(s,\omega)\frac{\partial^2 F}{\partial x^2} \right] ds
+\int\limits_0^t\frac{\partial F}{\partial x}b(s,\omega)dB_s

Многомерное обобщение[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]