Фробениусова нормальная форма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В линейной алгебре, фробениусовой нормальной формой линейного оператора А называется каноническая форма его матрицы, соответствующая минимальному разложению линейного пространства в прямую сумму инвариантных относительно А подпространств, которые могут быть получены как линейная оболочка некоторого вектора и его образов под действием А. Она будет блочно-диагональной матрицей, состоящей из фробениусовых клеток вида

 \begin{pmatrix}0&0&\cdots&0&-a_0\\1&0&\cdots&0&-a_1\\0&1&\cdots&0&-a_2\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\0&0&\cdots&1&-a_{n-1}\end{pmatrix}

Такая матрица называется сопровождающей для многочлена x^n+x^{n-1}a_{n-1}+\cdots+a_0.

Формулировка теоремы[править | править вики-текст]

Пусть V — конечномерное векторное пространство над полем k, A — линейный оператор на этом пространстве. Тогда существует базис V, такой что матрица A в этом базисе блочно-диагональна, её блоки — сопровождающие матрицы для унитарных многочленов f_i, таких что f_{i+1} делится на f_i. Многочлены f_i определены однозначно.

Доказательство[править | править вики-текст]

Линейный оператор на векторном пространстве превращает это пространство в модуль над кольцом многочленов k[x] (умножение на x соответствует применению линейного оператора). Кольцо многочленов является евклидовым, следовательно, областью главных идеалов, поэтому мы можем применить структурную теорему для конечнопорожденных модулей над кольцами главных идеалов. А именно, воспользуемся разложением пространства в прямую сумму инвариантных факторов. Отдельный фактор имеет вид k[x]/f(x), пусть степень многочлена f равна n. Выберем базис в этом подпространстве как образы многочленов 1, x, x2 … xn при отображении факторизации, легко видеть, что матрица оператора «умножение на x» в этом базисе совпадает с сопровождающей матрицей многочлена f(x). Выбирая базисы такого вида в каждом факторе, получаем матрицу требуемого вида. Инвариантность многочленов f_i следует из инвариантности факторов в структурной теореме.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е изд. — М.: Физматлит, 2004. — 560 с. — ISBN 5-9221-0524-8.
  • Милованов М. В., Толкачев М. М., Тышкевич Р. И., Феденко А. С. Ч. 2 // Алгебра и аналитическая геометрия В 2 ч.. — Минск: Вышэйшая школа, 1987. — С. 80-83. — 269 с.
  • David S. Dummit and Richard M. Foote. Abstract Algebra. 2nd Edition, John Wiley & Sons. pp. 442, 446, 452—458. — ISBN 0-471-36857-1.