Область главных идеалов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В общей алгебре, область главных идеалов — это область целостности, в которой любой идеал является главным. Более общее понятие — кольцо главных идеалов, от которого не требуется целостности (однако некоторые авторы, например Бурбаки, ссылаются на кольцо главных идеалов как на целостное кольцо).

Элементы кольца главных идеалов в некотром смысле похожи на числа: для любого элемента существует единственное разложение на простые, для любых двух элементов существует наибольший общий делитель.

Области главных идеалов можно указать на следующей цепочке включений:

Коммутативные кольцацелостные кольцафакториальные кольцаобласти главных идеаловевклидовы кольцаполя

Кроме того, все области главных идеалов являются нётеровыми и дедекиндовыми кольцами.

Примеры[править | править исходный текст]

Примеры целостных колец, не являющихся кольцами главных идеалов:

  • Z[x] — кольцо многочленов с целыми коэффициентами (идеал (2, x) нельзя породить одним многочленом)
  • Кольцо многочленов от двух переменных k[x, y] (идеал (x, y) не является главным)

Модули[править | править исходный текст]

Основной результат здесь — следующая теорема: если R — область главных идеалов и M — конечнопорожденный модуль над R, то M разлагается в прямую сумму циклических модулей, то есть модулей, порожденных одним элементом. Поскольку существует сюръективный гомоморфизм из R в циклический модуль над ним (отправляющий единицу в генератор), по теореме о гомоморфизме любой циклический модуль имеет вид R/xR для некоторого x\in R.

В частности, любой подмодуль свободного модуля над областью главных идеалов свободен. Это не верно для произвольных колец, в качестве контрпримера можно привести вложение \Bbb{Z}[X]-модулей (2,X)  \subseteq \Bbb{Z}[X].

Литература[править | править исходный текст]

  • Зарисский О., Самуэль П. Коммутативная алгебра тт.1-2. — М: ИЛ, 1963
  • Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, V. V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Kluwer Academic Publishers, 2004. ISBN 1-4020-2690-0
  • Nathan Jacobson. Basic Algebra I. Dover, 2009. ISBN 978-0-486-47189-1