Функция Минковского

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Функция Минковского.

Функция «вопросительный знак» Минковского — построенная Германом Минковским монотонная сингулярная функция ?(x) на отрезке [0,\;1], обладающая рядом замечательных свойств. Так, она взаимно-однозначно и с сохранением порядка переводит квадратичные иррациональности (то есть, числа вида (a+\sqrt{b}), где a и b рациональные) на отрезке [0,\;1] в рациональные числа на том же отрезке, а рациональные числа — в двоично-рациональные. Она связана с рядами Фарея, цепными дробями, и дробно-линейными преобразованиями, а её график обладает рядом интересных симметрий.


Построение[править | править вики-текст]

Функция Минковского может быть задана несколькими эквивалентными способами: через ряды Фарея, через цепные дроби, и построением графика с помощью последовательных итераций.

Задание с помощью дерева Штерна — Броко[править | править вики-текст]

В концах отрезка функция Минковского задаётся как ?(0)=0 и ?(1)=1. После этого, для любых двух рациональных чисел \frac{a}{b} и \frac{c}{d}, для которых ad-bc=1 — иными словами, для любых двух последовательных в каком-либо из рядов Фарея, — функция в их медианте \frac{a+c}{b+d} определяется как среднее арифметическое значений в этих точках:

?\left(\frac{a+c}{b+d}\right)=\frac{1}{2}\left(?\left(\frac{a}{b}\right)+?\left(\frac{c}{d}\right)\right).

Так,

?\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{?(0)+?(1)}{2}=\frac{1}{2},
?\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{?(0)+?(1/2)}{2}=\frac{1}{4},
?\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{?(1/2)+?(1)}{2}=\frac{3}{4}

и так далее.

Поскольку последовательности

\frac{0}{1},\;\frac{1}{1},
\frac{0}{1},\;\frac{1}{2},\;\frac{1}{1},
\frac{0}{1},\;\frac{1}{3},\;\frac{1}{2},\;\frac{2}{3},\;\frac{1}{1},

в которых следующая получается из предыдущей дописыванием между каждыми соседними её элементами их медианты, перечисляют в объединении все рациональные числа отрезка [0,\;1] (см. дерево Штерна — Броко) — такая итеративная процедура задаёт функцию Минковского во всех рациональных точках [0,\;1]. Более того, как несложно видеть, множеством её значений в этих точках оказываются в точности все двоично-рациональные числа [0,\;1] — иными словами, плотное в [0,\;1] множество. Поэтому построенная функция по монотонности однозначно продолжается до непрерывной функции ?\colon[0,\;1]\to[0,\;1] — и это и есть функция Минковского.

Задание с помощью цепной дроби[править | править вики-текст]

Функция Минковского, в определённом смысле, преобразует разложение в цепную дробь в представление в двоичной системе счисления. А именно, точку x\in[0,\;1], раскладывающуюся в цепную дробь как x=[0;\;a_1,\;a_2,\;\ldots], функция Минковского переводит в

?(x)=\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}}{2^{a_1+\ldots+a_k-1}}.

Иными словами, точка

x=\frac{1}{a_1+\dfrac{1}{a_2+\dfrac{1}{a_3+\ldots}}}

переходит в точку

?(x)=0,\;\underbrace{0\ldots 0}_{a_1-1}\underbrace{1\ldots 1}_{a_2}\underbrace{0\ldots 0}_{a_3}\underbrace{1\ldots 1}_{a_4}\ldots_{(2)}.

Самоподобие[править | править вики-текст]

Пусть точка x\in[0,\;1] задаётся цепной дробью x=[0;\;a_1,\;a_2,\;\ldots]. Тогда увеличение a_1 на единицу, то есть, переход к y=[0;\;a_1+1,\;a_2,\;\ldots] задаётся отображением

f\colon x\mapsto y=\frac{1}{1+\dfrac{1}{x}}=\frac{x}{1+x},

а функция Минковского после такого преобразования делится (как это следует из её задания через цепную дробь аргумента) пополам:

?\left(\frac{x}{1+x}\right)=\frac{?(x)}{2}.\qquad(1)

С другой стороны, из симметрии относительно 1/2 медиантной конструкции легко видеть, что

?(1-x)=1-?(x).\qquad(2)

Сопрягая (1) с помощью (2), видим, что под действием отображения g(x)=1-f(1-x)= 1-\frac{1-x}{2-x}=\frac{1}{2-x}, функция Минковского преобразуется как

?\left(\frac{1}{2-x}\right)=\frac{1+?(x)}{2}.

Поэтому график функции Минковского переводится в себя каждым из преобразований

F(x,\;t)=\left(\frac{x}{1+x},\;\frac{t}{2}\right),\quad G(x,\;t)=\left(\frac{1}{2-x},\;\frac{1+t}{2}\right).\qquad(3)

Более того, объединение их образов — это в точности весь исходный график, поскольку образ F — это часть графика над отрезком [0,\;1/2], а образ G — график над отрезком [1/2,\;1].

Построение графика как фрактала[править | править вики-текст]

График функции Минковского может быть построен, как предельное множество для системы итерируемых функций (англ.). А именно, отображения F и G, заданные (3), сохраняют график функции Минковского и переводят единичный квадрат внутрь себя. Поэтому, последовательность множеств X_n, определённая рекурсивно как

X_0=[0,\;1]\times[0,\;1],\quad X_{n+1}=F(X_n)\cup G(X_n)

— это убывающая по вложению последовательность множеств, причём график \Gamma=\{(x,\;?(x))\mid x\in[0,\;1]\} функции Минковского содержится в любом из них.

Несложно увидеть, что X_n является объединением прямоугольников высоты 1/2^n, поэтому предельное множество

X_\infty=\bigcap_n X_n

является графиком некоторой функции. Поскольку \Gamma\subset X_\infty, то они совпадают. Поэтому, график функции Минковского — это предельное множество системы итерируемых функций

F,\;G\colon [0,\;1]^2\to[0,\;1]^2.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Функция Минковского сингулярна, то есть в почти любой (по мере Лебега) точке x\in[0,\;1] её производная существует и равна нулю. Тем самым, мера на [0,\;1], функцией распределения которой является функция Минковского (продолженная нулём на отрицательные числа и единицей на большие единицы), сингулярна.
  • Функция Минковского взаимно однозначно переводит рациональные числа на отрезке [0,\;1] в двоично-рациональные числа на том же отрезке.
  • Функция Минковского взаимно однозначно переводит квадратичные иррациональности на отрезке [0,\;1] в рациональные числа на том же отрезке. Действительно, число x является квадратичной иррациональностью тогда и только тогда, когда его разложение в цепную дробь, начиная с некоторого момента, периодично; с другой стороны, эта периодичность равносильна периодичности двоичной записи образа — иными словами, рациональности ?(x).
  • График функции Минковского переводится в себя отображениями F и G, заданными (3), а, следовательно, и их композициями.

Литература[править | править вики-текст]

  • Minkowski H. Verhandlungen des III. internationalen Mathematiker-Kongresses in Heidelberg. — Berlin, 1904.
  • Denjoy A. Sur une fonction réelle de Minkowski. — Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1938. — 17. — pp. 105—151.
  • Conley, R. M. (2003), «A Survey of the Minkowski ?(x) Function», Masters thesis, West Virginia University , ссылка.
  • Conway, J. H. (2000), "Contorted fractions", «On Numbers and Games» (2nd ed.), Wellesley, MA: A K Peters, сс. 82—86 .
  • Кириллов А. А. Повесть о двух фракталах. — М.: МЦНМО, 2009.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]