Степенной ряд

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:

F(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nX^n,

в котором коэффициенты {a_n} берутся из некоторого кольца {R}.

Пространство степенных рядов[править | править вики-текст]

Пространство степенных рядов с одной переменной и коэффициентами из {R} обозначается R[[X]]. Пространство R[[X]] имеет структуру дифференциальной алгебры над кольцом {R} (коммутативной, целостной, с единицей, если таково же кольцо {R}). Оно часто используется в математике ввиду того, что в нём легко представимы и разрешимы формальные дифференциально-алгебраические и даже функциональные соотношения (см. метод производящих функций). При его использовании эти соотношения превращаются в алгебраические уравнения на коэффициенты рядов. Если они разрешаются, говорят о получении формального решения исходной задачи в виде формального степенного ряда.

В R[[X]] определены операции сложения, умножения, формального дифференцирования и формальной суперпозиции. Пусть

F(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nX^n, G(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}b_nX^n, H(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}c_nX^n.

Тогда:

H = F + G \Leftrightarrow \forall n \, c_n = a_n + b_n
H = F \,\cdot\, G \Leftrightarrow \forall n \, c_n = \sum\limits_{k+l=n}a_k b_l
H = F \circ G \Leftrightarrow \forall n \, c_n = \sum\limits_{s=1}^n a_s \sum\limits_{k_1+\dots+k_s=n}b_{k_1}b_{k_2}\dots b_{k_s} (при этом необходимо, чтобы соблюдалось b_0=0)
H = F' \Leftrightarrow \forall n \, c_n = (n+1)a_{n+1}

Сходимость степенных рядов[править | править вики-текст]

Из формального степенного ряда с вещественными или комплексными коэффициентами путем приписывания формальной переменной {X} какого-нибудь значения в поле вещественных или комплексных чисел можно получить числовой ряд. Числовой ряд считается сходящимся (суммируемым), если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, и называется абсолютно сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, взятых по модулю (по норме).

Признаки сходимости[править | править вики-текст]

Для степенных рядов есть несколько теорем, описывающих условия и характер их сходимости.

Обращая эту теорему, получаем, что если степенной ряд расходится при {x=x_0}, он расходится при всех {x}, таких что {|x|>|x_0|}. Из первой теоремы Абеля также следует, что существует такой радиус круга {R} (возможно, нулевой или бесконечный), что при {|x|<R} ряд сходится абсолютно (и равномерно по x на компактных подмножествах круга {|x|<R}), а при {|x|>R} — расходится. Это значение R называется радиусом сходимости ряда, а круг {|x|<R} — кругом сходимости.

  • Формула Коши-Адамара: Значение радиуса сходимости степенного ряда (если верхний предел существует и положителен, теорема Адамара о степенном ряде) может быть вычислено по формуле:
 {1\over R} = {\varlimsup\limits_{n\rightarrow +\infty}} \, |a_n|^{1/n}

(По поводу определения верхнего предела \varlimsup\limits_{n\rightarrow +\infty} см. статью «Частичный предел последовательности».)

Пусть F(x) и G(x) — два степенных ряда с радиусами сходимости {R_F} и {R_G}. Тогда

R_{F+G} \ge \min \{R_F,\, R_G\}
R_{F\cdot G} \ge \min \{R_F, R_G\}
R_{F'}\, = \,R_F

Если у ряда G(x) свободный член нулевой, тогда

R_{F\circ G} \ge {R_F \over {R_F+1}}R_G

Вопрос о сходимости ряда в точках границы {|x|=R} круга сходимости достаточно сложен и общего ответа здесь нет. Вот некоторые из теорем о сходимости ряда в граничных точках круга сходимости:

  • Признак Д’Аламбера: Если при n>N и \alpha>1 выполнено неравенство
\left| {a_n \over a_{n+1}} \right|\ge R \left(1 + {\alpha \over n}\right)
тогда степенной ряд \Sigma \,a_n x^n сходится во всех точках окружности {|x|=R} абсолютно и равномерно по x.
  • Признак Дирихле: Если все коэффициенты степенного ряда \Sigma \,a_n x^n положительны и последовательность a_n монотонно сходится к нулю, тогда этот ряд сходится во всех точках окружности {|x|=1}, кроме, быть может, точки {x=1}.
  • Вторая теорема Абеля: Пусть степенной ряд сходится в точке {x=x_0}. Тогда он сходится равномерно по {x} на отрезке, соединяющем точки -{x_0} и {x_0}.

Сумма степенного ряда как функция комплексного параметра x является предметом изучения теории аналитических функций.

См.также[править | править вики-текст]

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Степенной ряд от n переменных — это формальное алгебраическое выражение вида:

F(X_1,X_2,\dots,X_n) = \sum\limits_{k_1,k_2,\dots,k_n=0}^{+\infty} a_{k_1,k_2,\dots,k_n}X_1^{k_1}X_2^{k_2}\dots X_n^{k_n}

или, в мультииндексных обозначениях,

F(X) = \sum\limits_{\alpha}a_{\alpha}X^{\alpha},

где X — это вектор X=(X_1,X_2,\dots,X_n), \alpha — мультииндекс \alpha = (k_1, k_2, \dots, k_n), X^{\alpha} — одночлен X^{\alpha} = X_1^{k_1}X_2^{k_2}\dots X_n^{k_n}. Пространство степенных рядов от n переменных и коэффициентами из R обозначается R[[X_1,X_2,\dots,X_n]]. В нём определены операции сложения, умножения, дифференцирования по каждой переменной и n-местной суперпозиции. Пусть

F(X) = \sum\limits_{\alpha}a_{\alpha}X^{\alpha}, G(X) = \sum\limits_{\alpha} b_{\alpha}X^{\alpha}, H(X) = \sum\limits_{\alpha}c_{\alpha}X^{\alpha}.

Тогда:

H = F + G \Leftrightarrow \forall {\alpha} \, c_{\alpha} = a_{\alpha} + b_{\alpha}
H = F \,\cdot\, G \Leftrightarrow \forall {\alpha} \, c_{\alpha} = \sum\limits_{\beta+\gamma=\alpha} a_{\beta} b_{\gamma}
H = {\partial F \over \partial X_i} \Leftrightarrow \forall (k_1, k_2, \dots, k_n) \, c_{k_1, k_2, \dots, k_n} = (k_i+1)a_{(k_1, k_2, \dots, k_i+1, \dots, k_n)}

Про пространство R[[X_1,X_2,\dots,X_n]] можно сказать практически то же самое, что и про R[[X]]. [источник не указан 1975 дней]

См.также[править | править вики-текст]