Умножение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Умножение чисел 3 и 4 даёт количество 12

Умножение — одно из четырёх основных арифметических действий, бинарная математическая операция, в которой один аргумент складывается столько раз, сколько показывает другой. В арифметике под умножением понимают краткую запись сложения указанного количества одинаковых слагаемых. Например, запись 5 \cdot 3 обозначает «сложить три пятёрки», то есть 5+5+5. Результат умножения называется произведением, а умножаемые числа — множителями или сомножителями. Первый множитель иногда называется «множимое».

Запись[править | править вики-текст]

Умножение обозначается крестиком "×" или точкой "∙". Записи

5\times 3
5\cdot 3

обозначают одно и то же. Знак умножения часто пропускают, если это не приводит к путанице. Например, вместо 3\cdot x обычно пишут \ 3x\ .

Если сомножителей много, то часть их можно заменить многоточием. Например, произведение целых чисел от 1 до 100 может быть записано как 1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot99\cdot100 .

В буквенной записи применяется также символ произведения: a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n = {\displaystyle\prod_{i=1}^n a_i} . Например, произведение 1\cdot3\cdot5\cdot\ldots\cdot97\cdot99 можно записать кратко так: {\displaystyle\prod_{i=1}^{50} (2i-1)} .

Свойства умножения в арифметике[править | править вики-текст]

Умножение обладает следующими свойствами:

Умножение в устном счёте и на бумаге[править | править вики-текст]

Все «бумажные» способы перемножения многозначных чисел основаны на распределительном законе умножения относительно сложения — (10a + b)(10c + d) = 100ac + 10(ad+bc) + bd. При этом произведения однозначных чисел запоминают наизусть, для этого существуют таблицы умножения.


Умножение в компьютерной технике[править | править вики-текст]

В языках программирования знаком умножения принята звёздочка — например, 2*3 = 6.

Операция целочисленного умножения в компьютерах зачастую выдаёт ответ в два машинных слова — таким образом, она никогда не закончится переполнением. Однако к переполнению может привести перевод произведения в более узкий тип. Дробная операция умножения также может привести к переполнению.


Алгебраические структуры, по свойствам сходные с числовым умножением[править | править вики-текст]

  • Полугруппа — множество с ассоциативной операцией, часто именуемой «умножением». Похожа на множество целых чисел с операцией умножения.
  • Группа — множество с операциями «умножение» и «деление». Похожа на множество действительных чисел с операцией умножения.
  • Кольцо — множество с операциями «сложение», «вычитание» и «умножение».
  • Поле — множество с операциями «сложение», «вычитание», «умножение» и «деление».
  • В векторном пространстве можно умножать вектор на число.

«Умножением» двух преобразований часто называют их суперпозицию — (A \cdot B)(x) := A(B(x)) (например, так устроено умножение матриц). Такое «умножение» ассоциативно, но некоммутативно — может быть A \cdot B \ne B \cdot A.

См. также[править | править вики-текст]