abc-гипотеза

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

abc-гипотеза (гипотеза Эстерле — Массера) — утверждение в теории чисел, сформулированное независимо Джозефом Эстерле в 1988 году[1] и Дэвидом Массером в 1985 году.[2]

В августе 2012 года японский математик Синъити Мотидзуки заявил, что ему удалось доказать эту гипотезу.[3] В октябре того же года Веселин Димитров и Акшай Венкатеш (Akshay Venkatesh) обнаружили ошибку в доказательстве. Мотидзуки признал этот факт, но заявил, что данная ошибка не влияет на основные результаты, а также обещал в ближайшее время опубликовать исправленную версию. Он разместил серию исправленных документов, последний из которых был датирован мартом 2013 года.

Формулировка[править | править исходный текст]

При данном \varepsilon>0 существует постоянная K(\varepsilon), при которой для любых трёх взаимно простых целых чисел a, b и c, таких, что a+b=c, выполняется неравенство:

\max(|a|,|b|,|c|)\leqslant K(\varepsilon)\cdot \left(\operatorname{rad}(abc)\right)^{1+\varepsilon},

где \operatorname{rad}(abc)радикал целого числа.

Не теряя общности, можно рассматривать только натуральные числа a, b и c. Тогда неравенство сводится к следующему:

c\leqslant K(\varepsilon)\cdot \left(\operatorname{rad}(abc)\right)^{1+\varepsilon}

Замечание[править | править исходный текст]

Условие \varepsilon>0 необходимо. Для любого K существует тройка взаимно простых чисел a, b, c=a+b таких, что c>K \cdot \operatorname{rad}(abc). Например тройка вида a=1, b=2^{2\cdot 3^n}-1, c=2^{2\cdot 3^n}, где K<3^{n-1}.

Доказательство гипотезы Биля[править | править исходный текст]

Из справедливости abc-гипотезы следует справедливость гипотезы Биля для достаточно больших z, а из неё — справедливость великой теоремы Ферма для достаточно больших степеней.[4]

Доказательство гипотезы Пиллаи[править | править исходный текст]

Из справедливости abc-гипотезы следует справедливость гипотезы Пиллаи, а из неё — справедливость гипотезы Каталана.

Примечания[править | править исходный текст]

  1. J. Oesterlé Nouvelles approches du "théorème" de Fermat (фр.) // Séminaire N. Bourbaki. — 1988. — Т. 694. — С. 165–186. — ISSN 0303-1179.
  2. D. W. Masser Open problems (англ.) // Proceedings of the Symposium on Analytic Number Theory / W. W. L. Chen. — London: Imperial College, 1985. — Т. 25.
  3. Японский математик заявил о доказательстве АВС-гипотезы, Lenta.ru (11 сентября 2012). Проверено 11 сентября 2012.
  4. R. Daniel Mauldin A Generalization of Fermat’s Last Theorem: The Beal Conjecture and Prize Problem (англ.) // Notices of the AMS. — 1985. — Т. 44. — № 11. — С. 1436-1437.

Ссылки[править | править исходный текст]