Обсуждение:Непрерывное отображение

Untitled

Определение интуитивное, но не правильное. Разрыв функции может быть сколь угодно маленьким. 86.110.178.202 07:52, 25 апреля 2009 (UTC)denek

Простите, а это как? --OZH 12:14, 26 ноября 2009 (UTC)

Как думаете, я своей правкой не перегрузил начало? --Quijote 21:35, 24 ноября 2009 (UTC)

По мне всё прекрасно, спасибо за правку. --Евгения Бабина 21:42, 24 ноября 2009 (UTC)

• Эх, а мне всегда нравилось определение:

функция непрерывна в точке, если её значение совпадает с её пределом.

Верно всегда, когда отделимы точки в результирующем пространстве... Ну если другим не нравится - Хорошо, лезть не буду. --Quijote 22:21, 1 декабря 2009 (UTC)

• • Ничто не мешает добавить и пятое определение (когда OZH закончит свою попытку), хотя на мой вкус это скорее свойство. Оно, например, в многомерном случае непонятно как работает. Mir76 11:04, 2 декабря 2009 (UTC)

Обозначения

Нужно написать либо дать ссылку на то, что такое $M,M'$. Alexsmail 21:40, 15 сентября 2007 (UTC)

Нашёл соответствующую отсылку. Пусть кто-то проверит часть отсылающие к топологии. С остальным вроде всё нормально. Alexsmail 21:48, 15 сентября 2007 (UTC)

Нужно написать ещё про функции непрерывные справа и слева. Я соберусь с силами и сделаю. ПБХ 22:46, 15 сентября 2007 (UTC)

Сделано. Проверяйте. ПБХ 14:51, 17 сентября 2007 (UTC)

Вроде бы всё в порядке. Alexsmail 19:12, 17 сентября 2007 (UTC)

У функции знака x = 0 считается каким-то волшебным образом разрывом первого и второго рода одновременно. 89.20.11.161 10:56, 6 января 2009 (UTC)

Убрал, ерунда какая-то. --Мышонок 11:02, 6 января 2009 (UTC)

Пример непрерывной, но не дифференцированной функции

Зачем вы пример функции модуль x удалили? Он гораздо проще, чем приведённый вами. Alexsmail 17:18, 16 сентября 2007 (UTC)

Я ничего не добавлял от себя. Этот пример тоже был там. Я считаю, что этим примерам место в Дифференцируемая функция. ПБХ 20:02, 16 сентября 2007 (UTC)

Добавил туда замечание. Alexsmail 14:06, 17 сентября 2007 (UTC)

Последовательности.

Сейчас там неправильная вещь написана: хаусдорфовости не хватает. Определение через последовательности называется секвенциальной непрерывностью, и обычной непрерывности не эквивалентно (пример — тождественное отображение из $l_{1}$ со слабой топологией в $l_{1}$ с сильной). Если писать так — нужно требовать метризуемости топологии. А правильное определение — через окрестности. --Burivykh 15:41, 25 ноября 2009 (UTC)

Спасибо! Невнимательно прочитал источник: там нет и не было последовательностей. Так лучше?--Quijote 22:52, 25 ноября 2009 (UTC)

Да, спасибо. Burivykh 23:20, 25 ноября 2009 (UTC)

Преамбула

Можно ли удалить из преамбулы математические обозначения? Я думаю, что во всех математических статьях в преамбуле должны отсутствовать какие-либо обозначения. Преамбула — это описание предмета статьи на естественном языке. Причём, на мой взгляд, преамбула должна сжато описывать содержание самой статьи. Кто всерьёз интересуется математикой, будет читать всю статью, а преамбула пишется для всех. Главное требование: точность. --OZH 12:13, 26 ноября 2009 (UTC)

Сейчас в преамбула намешано много чего разного. Про топологию следует сказать следующее:

1. Топология (общая) целиком посвящена непрерывным отображениям.
2. В топологии непрерывность определяется так: «праобраз открытого открыт».

Поэтому в преамбуле следует оставить именно это. Тогда определение на языке $\varepsilon -\delta$ непрерывности в метрических пространствах окажется попросту конкретной записью общего определения. --OZH 12:18, 26 ноября 2009 (UTC)

А есть ещё и понятия полунепрерывности и равномерной непрерывности. --OZH 12:23, 26 ноября 2009 (UTC)

• Если следовать логике "преамбула - для нормальных людей", то в преамбуле надо везде заменить слово отображение на слово функция, т.к. функции проходят в средней школе, а отображение проходят далеко не все. Mir76 17:56, 29 ноября 2009 (UTC)
  • Необязательно заменять. В Википедии обязательно следует показать взаимоотношения между наиболее важнейшими понятиями математики. Нельзя упрощать. Преамбула должна быть прозрачной. --OZH 19:57, 26 ноября 2009 (UTC)
• А топологию надо убрать из преамбулы совсем, т.к. она слишком уж абстрактна и топологическое определение использует весьма неочевидное нормальному человеку понятие открытого множества. Mir76 13:07, 26 ноября 2009 (UTC)
  • Тут не согласен. Преамбула задают уровень изложения. То, что необходимо знать. Но это --- мой взгляд на вещи. --OZH 19:57, 26 ноября 2009 (UTC)
    • Преамбула - единственное место в математической статье, где можно (и нужно) позволить себе пожертвовать точностью в угоду понятности. Те, кто прорвется через преамбулу - дочитают до точного определения, остальным хватит и бытового предаставления. А самые настойчивые почитают литературу, указанную в конце. Сейчас (29 ноября, правки от Тоши) статья правильно идет по нарастанию сложности. Могу сказать, что в моей диссертации непрерывность функции весьма существенна (без нее все теоремы просто не верны), так вот из четырех определений мне вполне хватало первого, а использование четвертого все бы сильно усложнило. Mir76 17:56, 29 ноября 2009 (UTC)
      • Попробуй после этого учесть два противоположных подхода: от простого к сложному, и от общего к частному! Трудноразрешимая задача. --OZH 11:55, 30 ноября 2009 (UTC)

Цель правок

Понятие непрерывного отображения является одним из самых важных математических понятий. Я считаю, что данная статья должна быть достаточно подробной и разветвлённой (выводить на множество других статей Википедии). После того, как я обнародую свои замечания и соберу весь необходимый материал, я займусь переписыванием данной статьи. Надеюсь, к этому моменту будет достигнут консенсус по поводу содержания статьи. --OZH 20:06, 26 ноября 2009 (UTC)

Это о чём? --Тоша 21:50, 26 ноября 2009 (UTC)

Это о том, что статья будет мною переписана. Есть ли возражения? Или предложения? Или Вы считаете, что всё и так хорошо? --OZH 07:04, 27 ноября 2009 (UTC)

Можно новый вариант статьи разместить здесь, в СО. Но потом придётся переносить одной правкой... Иначе придётся править саму статью. --OZH 07:04, 27 ноября 2009 (UTC)

Если так, то для обсуждения используйте Подстраницу участника, а ссылку оставьте здесь. Лично я с удовольствием посмотрю на Ваши предложения. --Quijote 11:59, 28 ноября 2009 (UTC)

Я СИЛЬНО ПРОТИВ. Мой опыт говорит что «переписанные» статьи хуже оригиналов. Я не вижу причин «переписывать» эту статью, но разумеется есть много способов улучшить то, что есть. --Тоша 19:19, 28 ноября 2009 (UTC)

Скажем так, ничему не противоречит, если OZH перепишет у себя на подстранице, а потом предложит сравнить. Действительно, есть вероятность, что станет хуже, но может получиться и лучше. Увы, если окажется, что набело написанный текст хуже, то это будет потраченное время -- но, с другой стороны, с некоторыми статьями у меня тоже возникает желание переписать начисто, чтобы избавиться от уже "вмороженного" в текст неудачного изложения. Так что -- моё мнение, пожалуй, нейтральное: шкуру неувиденного медведя обсуждаем. :) --Burivykh 18:14, 29 ноября 2009 (UTC)

• Я так и сделаю. Напишу у себя и дам ссылку. А можно туда перенести текущую версию для работы? --OZH 11:58, 30 ноября 2009 (UTC)

  Сделано: Участник:OZH/Непрерывное отображение; я убрал ссылки на другие языки и категории, чтобы случайно не помешали чему-нибудь (это просто последние несколько строчек). --Burivykh 12:20, 30 ноября 2009 (UTC)

  Спасибо. Я попробую. --OZH 18:05, 30 ноября 2009 (UTC)

  Работа начата... --OZH 18:54, 1 декабря 2009 (UTC)

• Также предлагаю посетить Проект:Математика/Основные понятия. Хочется как-то централизовать работу над математическими статьями... --OZH 12:34, 1 декабря 2009 (UTC)

Промежуточный результат

Работая над своим вариантом статьи, я пришёл к выводу, что не стоит в одной статье смешивать несколько уровней абстракции. Поэтому я сконцентрировался исключительно на числовых функциях, как на материале, где можно на пальцах показать взаимосвязи этого понятия с другими так, как это делается в математическом анализе. Я решил довести этот вариант статьи до конца. В конечном итоге, необходимо написать, по крайней мере, две статьи с похожими названиями:

• Непрерывное отображение (а также Передел функции),
• Непрерывное отображение (обобщения) (а также Передел функции (по базе)).

Основную статью я доведу до конца и представлю на ваш суд. --OZH 20:01, 7 декабря 2009 (UTC)

Дело близится к завершению, но я сильно сомневаюсь, что от этой статьи что-либо останется при том походе, которого придерживается Тоша. :( --OZH 20:30, 12 декабря 2009 (UTC)

Предполагаемая структура статьи

Пока моё видение статьи нашло отражение в следующей ниже структуре. --OZH 08:38, 8 декабря 2009 (UTC)

Преамбула [Я не определился с тем, как должна быть оформлена преамбула. Я выступаю за длинную преамбулу, а участник Тоша — за короткую.]

• Сейчас написано: «Непреры́вное отображе́ние или непрерывная функция — это такое отображение, у которого малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения отображения».
• Должно быть: «Непреры́вное отображе́ние или непрерывная функция — это такое отображение, у которого при стремлении аргумента функции к определённому значению значения функции стремится к значению функции в данной точке».

Если делать преамбулу ультракороткой, то возникает проблема формулировки понятия в одно предложение. Если делать преамбулу не столь короткой, то можно указать на взаимосвязь понятий непрерывности функции на множестве, непрерывности функции в точке, предела функции в точке.

Ещё одна проблема — это предмет статьи. Я ограничил рассмотрение только вещественнозначными функциями одного вещественного переменного в том виде, как это делается в математическом анализе. Любые обобщения, на мой взгляд, должны быть описаны в других статьях (включая и многомерный случай).

В связи с этим возникает вопрос о разделении статей: я бы предложил ввести две статьи Непрерывная функция (для описания случая, рассматриваемого в математическом анализе) и Непрерывное отображение (по мотивам существующей статьи, где содержался бы обзор существующих понятий непрерывности, включая многомерные отображения, отображения метрических и топологических пространств). Если это поможет исключить возможные конфликты и, к тому же, позволит полнее и точнее изложить суть предмета, то я был бы не против детально обсудить этот вопрос. (Для таких вопросов и предназначался мой проект Проект:Математика/Основные понятия!)

Если разделение всё-таки будет осуществлено, то текущую статью можно будет дополнять так, как это понимает участник Тоша, а у новой статьи будет уже своя собственная история правок (со своим подходом).

Введение [Должно в сжатом виде описывать содержание статьи в самых общих словах, наглядно и без формул.]

• Понятие непрерывности: взаимосвязь понятий непрерывности функции на множестве, непрерывности функции в точке, предела функции в точке.
• Точки разрыва
• Важнейшие свойства непрерывных функций: максимальные, минимальные и промежуточные значения, неподвижные точки, пространства непрерывных функции, композиция непрерывных функций
• Непрерывность и дифференцируемость: функция Вейерштрасса
• Непрерывность отображения в топологии: гомеоморфизмы

Определения

• [Обозначения]: окрестности и базы окрестностей
• Предел функции
• Колебание функции
• Непрерывность в точке
• Непрерывность на множестве
• Равномерная непрерывность
• Односторонний предел
• Точки разрыва
• Непрерывность почти всюду

Свойства

Я планировал здесь перечислить основные свойства непрерывных функций (а, также, свойств точек разрыва) в виде последовательности утверждений в следующей форме: сначала даётся формулировка свойства на естественном языке без формул, затем даётся точная математическая формулировка. В принципе, всё, что здесь есть можно перенести в раздел «Теоремы», где можно привести также и некоторые доказательства в наиболее важных случаях, а данный раздел упростить до простого списка, как это и было сделано раньше. Если поступит такое предложение, я попробую так сделать.

• Финальная ограниченность
• Сохранение знака
• Сумма и произведение непрерывных функций
• Частное от деления непрерывных функций
• Композиция непрерывных функций
• Непрерывность и компактность: Теорема Больцано-Коши о промежуточном значении, Теорема Вейерштрасса о максимальном значении, Теорема Кантора о равномерной непрерывности
• Непрерывность и монотонность: Теорема об эквивалентности инъективности и монотонности, Теорема о монотонности обратной функции, Теорема о разрывах монотонной функции, Теорема о непрерывности монотонной функции, Теорема об обратной функции

Теоремы (раздел сейчас скрыт) [Здесь даются важнейшие теоремы для непрерывных функций вместе с их доказательствами на формальном языке.]

Сюда можно перенести материал из предыдущего раздела, но уже без словесных формулировок, но с доказательствами важнейших теорем (там где метод доказательств имеет важное методическое значение).

• Теорема о максимальном и минимальном значении функции на отрезке (компакте)
• Теорема о равномерной непрерывности на отрезке (компакте)
• Теорема об обратной функции

Примеры

• Элементарные функции
• Функция с устранимым разрывом
• Функция знака
• Ступенчатая функция
• Функция Дирихле
• Функция Римана

Связанные понятия (раздел сейчас скрыт)

• Модуль непрерывности
• Полунепрерывность
• Полином (многочлен) наилучшего приближения
• Ростки непрерывных функций
• Дифференцируемость
• Интегрируемость

Приложения (раздел сейчас скрыт)

• Теория приближений (теория аппроксимации): теорема Вейерштрасса о приближении функций полиномами.
• Теория дифференциальных уравнений: теорема о существовании решений задачи Коши, ломанные Эйлера.

См. также (пока неясно, на что ссылаться) [Здесь собраны вместе ссылки на основные понятия (упомянутые в статье) для дальнейшего ознакомления.]

Примечания (Если потребуются.)

Литература [Здесь приводится основная литература (небольшое количество).]

---

• Очень напоминает текущую структуру :) Не вижу проблем в перечислении всех определений в одной статье (как сейчас). Mir76 10:46, 8 декабря 2009 (UTC)

  Под перечислением всех определений я понимаю перечисление тех понятий, которые необходимы для описания непрерывности. Речь не идёт о перечислении всех возможных определений понятия непрерывности в точке (или на множестве). Работая над своей версией статьи (в личном пространстве), я убедился в том, что в ВП должно быть, по крайней мере, две статьи о непрерывных функциях: одна — про непрерывность числовых функций в анализе, другая — о непрерывности с общей точки зрения. продолжая работу, я буду здесь приводить развёрнутые планы каждого раздела, и вы (мн. число) сможете увидеть логику изложения. По срокам могу сказать так: работы хватит до конца текущей недели. --OZH 16:56, 8 декабря 2009 (UTC)

Промежуточный итог

Я решился воплотить в жизнь возникшую у меня идею о разделении статей. После того, как я посоветовался с участником Burivykh:

…Если у Вас есть желание вносить правки, делайте это -- я буду отслеживать список наблюдения. На самом деле -- может быть, проще будет, если после Ваших правок я чуть-чуть пройдусь по Вашему тексту (а если Вам не понравится -- откатите, благо в Вики ничего не пропадает!). Что скажете? --Burivykh 22:17, 20 декабря 2009 (UTC)

…Было бы крайне желательно определиться сначала с взаимоотношением между вариантами: новым и старым. Если мой вариант можно сделать новой (самостоятельной) статьей, то следовало бы сначала создать новую страницу (убрав перенаправление), посвятив её исключительно вещественнозначным функциям вещественного переменного (что, на мой взгляд, является наиболее ценным для Википедии), оставив всякие обобщения (включая и наиболее абстрактные топологические обобщения) на долю других статей. Если Вы согласны с таким подходом, то вычиткой, правкой (включая и перенос вспомогательного материала в другие статьи, например, про окрестности) и дополнениями хотелось бы заняться уже в основном, а не в личном пространстве. --OZH 11:11, 21 декабря 2009 (UTC)

Да, идея, что «непрерывная функция» будет чисто вещественной статьёй, а все обобщения будут в статье «непрерывное отображение» (и между этими статьями будут взаимные ссылки), мне кажется разумной. Я бы был более осторожен в сильных модификациях «соседних» статей, надо аккуратно смотреть… --Burivykh 18:08, 21 декабря 2009 (UTC)

я принял решение убрать перенаправление со статьи «Непрерывная функция» на статью «Непрерывное отображение». Подготвленный мною материал я перенесу на новую страницу, а существующую статью нужно будет существенно исправить, удалив из неё всё, что дублируется в новой применительно к одномерному случаю, зато теперь, старую статью можно будет существенно расширить за счёт новых сведений о непрерывных отображениях в линейных пространствах (непрерывность в нуле и т.п.), топологических пространствах вплоть до непрерывных групп преобразований (с выходом на геометрию; помним, что нужна ещё гладкость, но это уже другая тема). Было бы крайне желательно обсуждать любые изменения до того, как их предполагается совершить. Мой алгоритм прост:

1. Создаю новую статью: переношу текст, викифицирую.
2. Дополняю статью новыми сведениями: связанные понятия и приложения.
3. Вычитываю статью и приглашаю к обсуждению других.
4. Переношу часть вспомогательного материала в другие статьи: например, статья «Окрестность».
5. Редактирую статью Непрерывное отображение.
6. Начинаю править смежные статьи: Предел функции, Непрерывные функции (обобщения) (новая), Предел последовательности и, собственно, Последовательность.

Параллельно, я работаю над статьями про сходимость функциональных последовательностей и семейств (например, Поточечная сходимость), а, также, например, над статьёй про теорему Асколи-Арцела, что потребует, в конечном итоге, редактирования статьи Функциональные ряды и Компактное пространство. Если вы (множ. число) чувствуете, что может возникнуть конфликт интересов, то будет лучше, сразу предупредить об этом на СО соответствующей статьи. Все предполагаемые и вносимые мною правки будут сопровождаться сообщениями на СО.

Пока всё. --OZH 08:01, 22 декабря 2009 (UTC)

Если активно правите какую-то статью, не забывайте про {{Пишу}}. infovarius 19:58, 22 декабря 2009 (UTC)

О! Как раз {{subst:L}} хотел посоветовать. Мысли сходятся! :) --Burivykh 20:58, 22 декабря 2009 (UTC)

To OZH: удачи! --Burivykh 20:58, 22 декабря 2009 (UTC)

Новая редакция (11 января 2010 года)

Я существенно почистил статью, освободив её от материала, относящегося к непрерывным числовым функциям. Я собираюсь переориентировать текущую статью в сторону обзора понятий непрерывности отображений в различных пространствах. Результат должен выглядеть как обзор. --OZH 20:07, 11 января 2010 (UTC)

Разрыв

А так ли уж устранимый разрыв здесь не нужен? (И куда его тогда?) --Burivykh 18:42, 1 июня 2010 (UTC)

Не понял вопроса. ;-) Я же, вроде, удалил его, как дубликат из статьи «Непрерывная функция». Здесь совершенно невозможно говорить об односторонних приделах. Даже для двумерного случая, не совсем понятно, что такое предел функции в точке, когда он может быть различен при различном стремлении к самой точке. --OZH 19:07, 1 июня 2010 (UTC)

Концептуальное изменение

Поскольку статья называется Непрерывное отображение, то она должна исходить из наиболее общих понятий. Поэтому я изменил концепцию изложения - от общего к частному. Преамбулу не трогал. Добавил также раздел про свойства непрерывных отображений. Здесь пока маловато, надо дописывать.MyWikiNik 18:03, 20 января 2012 (UTC)

1) Здесь не учебник для студентов-математиков, а общечеловеческая энциклопедия. Поэтому последовательность должна быть ровно обратной - от самых простых вещей, понятных широкому кругу - постепенно переходить к уточнениям для специалистов, от школьной математики к вузовской.

2) Такие глобальные правки лучше сначала обсудить, а потом уже делать. Mir76 18:32, 20 января 2012 (UTC)

Согласен, что не учебник, и нужно обсуждать. Прошу прощения. Но название статьи является весьма общим и должно быть дано общее понятие. Конечно подход от простого к сложному тоже имеет право на существование. Но в данном случае от общего к частному лучше так как видно, что реально в конкретных случаях мы имеем лишь частные случаи. Более того я сохранил многие определения, приведенные в статье и сохранил преамбулу для нестрого изложения. Если конечно, вы считаете что моя концепция изложения не хороша, то можете править смело или просто откатить, но хотелось бы объективного анализа того, что не так. В "общечеловеческой энциклопедии" в данном случае определяется вовсе не "общечеловеческое" понятие, а фундаментальное математическое понятие. Преамбула для упрощенного представления. Общее определения для более или менее строго понимания на основе минимально необходимых структур (топологии), а далее конкретные приложения в случае метрических и, в частности нормированных линейных пространств. Я многое сохранил из написанного изменил лишь порядок и структуру и добавил то, что считал важным.MyWikiNik 06:46, 21 января 2012 (UTC) Если вы посмотрите на общее определение, которое я привел, то оно выглядит гораздо проще, чем то определение (точнее формулировка его), которое было, и которое я сохранил для топологических пространствMyWikiNik 06:53, 21 января 2012 (UTC)

В преамбуле есть фраза, которая не совсем верна - о том, что непрерывными оказываются линейные функционалы и линейные операторы. Эта фраза верна только для ограниченных линейных операторов (в частности функционалов) в нормированных пространствах. Но в общем случае линейных операторов в произвольных линейных пространствах это неверно, во-первых, есть неограниченные линейные операторы, во вторых в ненормированных пространствах даже из ограниченности может не следовать непрерывность.MyWikiNik 09:59, 22 января 2012 (UTC)

Почему убрали

Уважаемый Тоша. Не могли ли вы пояснить почему вы убрали важное наиболее общее определение непрерывности в топологических пространствах, которое я приводил. Дело в том, что все остальные определения частных случаев в метрических, нормированных и в случае обычной числовой функции являются частными случаями именно этого определения. А вы оставили только критерий непрерывности - прообраз открытого множества открыт. Из этого определения напрямую нельзя увидеть метрическое определение. А из исходного можно. Там было сказано, что для любой окрестности образа точки существует окрестность самой точки, образ которого является подмножеством окрестности образа точки. Это можно сделать какой бы малой мы бы не выбирали окрестность образа точки. Это означает, что мы всегда можем найти точки, близкие к данной, образ которых также сколь угодно близок к образу точки. Это очень важное определение. Именно из него следует метрическое определение дельта-эпсилон, которое гласит, что какое бы эпсилон мы бы ни выбрали всегда найдется дельта, такое что все точки, удаленные от данной менее дельты, имеют образы, удаленные от образа данной не более чем на эпсилон. Это и означает, что для всякой окрестности образа, мы найдем окрестность прообразов, при отображении которой получим подмножество этой окрестности образов. Я считаю это важным определением. Более того оно исходное. А критерий - прообраз открытого открыт - хотя и эквивалентен этому определению хуже отражает смысл непрерывности. Я полагаю надо оставить оба определения.MyWikiNik 11:37, 28 марта 2012 (UTC)

Второй момент. Вы убрали понятие секвенциальной непрерывности из общего топологического понятия в раздел вариации и обобщения. Это конечно допустимо, но думаю нерационально. Посмотрите раздел про числовую функцию. Там это определение фигурирует как ни в чем не бывало. А общего понятия такого не было. Понимаете, секвенциальная непрерывность эквивалентна обычной для большинства пространств, ну в частности, для всех метрических пространств - а это огромный класс. Мне кажется, выделят это как вариацию и обобщение не стоит. Тем более что обобщением это точно не является.MyWikiNik 11:48, 28 марта 2012 (UTC)

Третий момент. Вы убрали указание на то, что из того, что образ компактного множества при непрерывном отображении компактен, следует что непрерывная числовая функция на любом компакте достигает нижней и верхней граней. Вы эти свойства оставили как независимые. Думаю лучше упомянуть, что второе - это следствие первого. Так как компактность в случае конечномерных нормированных пространств (а значит и для обычной числовой оси) эквивалентна ограниченности и замкнутости, следовательно интервал значений образа компактного множества при отображении непрерывной числовой функцией должен быть ограниченным и замкнутым интервалом, что и означает, что функция достигает нижней и верхней граней. Полагаю важно знать взаимосвязь свойств.MyWikiNik 12:36, 28 марта 2012 (UTC)

Четвертый момент. Вы резко сократили преамбулу статьи и перенесли ее в раздел "Определения". И думаю зря. Преамбулу можно было изменить, но перемещать в "определения" не стоит. Полагаю определения должны быть общие (топологические) и далее частные случаи - метрические пространства, линейные нормированные пространства, обычные числовые функции. MyWikiNik 16:42, 28 марта 2012 (UTC)

MyWikiNik, эта статья о непрерывном отображении, но не о непрерывности в точке. про непрерывность в точке, также как про секвенциальную непрерывность можно (и нужно) сказать в «вариацияхи и обобщениях». (Для числовой функции эти понятия совпадают поэтому и «фигурируют как ни в чём не бывало».) Можно (и нужно) обяснить почему метрическое и топологическое определения эквивалентны, но НЕ путём добаления ещё одного определения.

Я консерватор и минималист --- это объясняет большинство моих правок. Я вижу, что Вы активно работаете над статьёй --- проверю-подправлю её через неделю-две. --Тоша 23:19, 30 марта 2012 (UTC)

Уважаемый Tosha. На счет того, что статья не о непрерывности в точке, а про непрерывное отображение - не совсем корректное противопоставление. Дело в том, что непрерывность отображения определяется изначально как его же непрерывность в точках и лишь непрерывность во всех точках означает непрерывность отображения во всем множестве или пространстве. Сказать про непрерывность в точке в "варицациях и обобщениях" - это ну совсем никак нельзя. Если про секвенциальную непрерывность еще куда ни шло, то тут никак. Определение непрерывного в данной точке отображения я написал. Могу дать ссылку если надо (найду и напишу данные). Противопоставлять непрерывность в точке и на множестве или в пространстве в целом - некорректно, это вложенные понятия. Тем более все определения в частных пространствах приведены как определения непрерывности в точке, но почему то у вас там вопросов не возникает. Что касается секвенциальной непрерывнсти, то здесь возможны варианты изложения, но думаю сейчас я оптимально сделал. MyWikiNik 04:25, 31 марта 2012 (UTC)

По поводу ссылки - Садовничий В.А. Теория операторов. Учеб. для вузов. 3-е изд., стер. - М. Высш. шк., 1999. - 368 с. Достаточно посмотреть определение 12 на стр. 28. А далее приведена лемма 4, которая гласит, что отображение непрерывно тогда и только тогда, когда полный прообраз любого открытого множества открытMyWikiNik 08:10, 31 марта 2012 (UTC)

• Хочу со своим любительским мнением поддержать модификации в статье в направлении выстраивания материала от наиболее общего определения понятия (топологического) к частным: всё-таки мы пишем энциклопедию, а не дидактический материал, и важно уже начиная с преамбулы говорить о понятии в современном его понимании, максимально общо. И согласен с тем, что непрерывность отображения в точке и непрерывность отображения на множестве должны быть в одной энциклопедической сущности. Можно, конечно, попробовать переместить акцент на Непрерывность (математика), но так как без отображений непрерывность не ввести — то получается, что придётся просто в преамбуле сгородить лишнюю конструкцию. Другое дело, что доступность формулировок и простота прочтения — важные свойства для энциклопедической статьи, и как стройно проложить путь от общих определений к частным, да ещё и не забыть и исторический контекст (как понятие развивалось), и при этом не перегрузить статью промежуточными определениями — хорошая задача, и над этим тоже нужно работать, пытаясь перечитывать глазами непосвещённого, bezik 09:07, 31 марта 2012 (UTC)