Обсуждение:Непрерывное отображение

Untitled

Определение интуитивное, но не правильное. Разрыв функции может быть сколь угодно маленьким. 86.110.178.202 07:52, 25 апреля 2009 (UTC)denek

Простите, а это как? --OZH 12:14, 26 ноября 2009 (UTC)

Как думаете, я своей правкой не перегрузил начало? --Quijote 21:35, 24 ноября 2009 (UTC)

По мне всё прекрасно, спасибо за правку. --Евгения Бабина 21:42, 24 ноября 2009 (UTC)

• Эх, а мне всегда нравилось определение:

функция непрерывна в точке, если её значение совпадает с её пределом.

Верно всегда, когда отделимы точки в результирующем пространстве... Ну если другим не нравится - Хорошо, лезть не буду. --Quijote 22:21, 1 декабря 2009 (UTC)

• • Ничто не мешает добавить и пятое определение (когда OZH закончит свою попытку), хотя на мой вкус это скорее свойство. Оно, например, в многомерном случае непонятно как работает. Mir76 11:04, 2 декабря 2009 (UTC)

Обозначения

Нужно написать либо дать ссылку на то, что такое $M,M'$. Alexsmail 21:40, 15 сентября 2007 (UTC)

Нашёл соответствующую отсылку. Пусть кто-то проверит часть отсылающие к топологии. С остальным вроде всё нормально. Alexsmail 21:48, 15 сентября 2007 (UTC)

Нужно написать ещё про функции непрерывные справа и слева. Я соберусь с силами и сделаю. ПБХ 22:46, 15 сентября 2007 (UTC)

Сделано. Проверяйте. ПБХ 14:51, 17 сентября 2007 (UTC)

Вроде бы всё в порядке. Alexsmail 19:12, 17 сентября 2007 (UTC)

У функции знака x = 0 считается каким-то волшебным образом разрывом первого и второго рода одновременно. 89.20.11.161 10:56, 6 января 2009 (UTC)

Убрал, ерунда какая-то. --Мышонок 11:02, 6 января 2009 (UTC)

Пример непрерывной, но не дифференцированной функции

Зачем вы пример функции модуль x удалили? Он гораздо проще, чем приведённый вами. Alexsmail 17:18, 16 сентября 2007 (UTC)

Я ничего не добавлял от себя. Этот пример тоже был там. Я считаю, что этим примерам место в Дифференцируемая функция. ПБХ 20:02, 16 сентября 2007 (UTC)

Добавил туда замечание. Alexsmail 14:06, 17 сентября 2007 (UTC)

Последовательности.

Сейчас там неправильная вещь написана: хаусдорфовости не хватает. Определение через последовательности называется секвенциальной непрерывностью, и обычной непрерывности не эквивалентно (пример — тождественное отображение из $l_{1}$ со слабой топологией в $l_{1}$ с сильной). Если писать так — нужно требовать метризуемости топологии. А правильное определение — через окрестности. --Burivykh 15:41, 25 ноября 2009 (UTC)

Спасибо! Невнимательно прочитал источник: там нет и не было последовательностей. Так лучше?--Quijote 22:52, 25 ноября 2009 (UTC)

Да, спасибо. Burivykh 23:20, 25 ноября 2009 (UTC)

Преамбула

Можно ли удалить из преамбулы математические обозначения? Я думаю, что во всех математических статьях в преамбуле должны отсутствовать какие-либо обозначения. Преамбула — это описание предмета статьи на естественном языке. Причём, на мой взгляд, преамбула должна сжато описывать содержание самой статьи. Кто всерьёз интересуется математикой, будет читать всю статью, а преамбула пишется для всех. Главное требование: точность. --OZH 12:13, 26 ноября 2009 (UTC)

Сейчас в преамбула намешано много чего разного. Про топологию следует сказать следующее:

1. Топология (общая) целиком посвящена непрерывным отображениям.
2. В топологии непрерывность определяется так: «праобраз открытого открыт».

Поэтому в преамбуле следует оставить именно это. Тогда определение на языке $\varepsilon -\delta$ непрерывности в метрических пространствах окажется попросту конкретной записью общего определения. --OZH 12:18, 26 ноября 2009 (UTC)

А есть ещё и понятия полунепрерывности и равномерной непрерывности. --OZH 12:23, 26 ноября 2009 (UTC)

• Если следовать логике "преамбула - для нормальных людей", то в преамбуле надо везде заменить слово отображение на слово функция, т.к. функции проходят в средней школе, а отображение проходят далеко не все. Mir76 17:56, 29 ноября 2009 (UTC)
  • Необязательно заменять. В Википедии обязательно следует показать взаимоотношения между наиболее важнейшими понятиями математики. Нельзя упрощать. Преамбула должна быть прозрачной. --OZH 19:57, 26 ноября 2009 (UTC)
• А топологию надо убрать из преамбулы совсем, т.к. она слишком уж абстрактна и топологическое определение использует весьма неочевидное нормальному человеку понятие открытого множества. Mir76 13:07, 26 ноября 2009 (UTC)
  • Тут не согласен. Преамбула задают уровень изложения. То, что необходимо знать. Но это --- мой взгляд на вещи. --OZH 19:57, 26 ноября 2009 (UTC)
    • Преамбула - единственное место в математической статье, где можно (и нужно) позволить себе пожертвовать точностью в угоду понятности. Те, кто прорвется через преамбулу - дочитают до точного определения, остальным хватит и бытового предаставления. А самые настойчивые почитают литературу, указанную в конце. Сейчас (29 ноября, правки от Тоши) статья правильно идет по нарастанию сложности. Могу сказать, что в моей диссертации непрерывность функции весьма существенна (без нее все теоремы просто не верны), так вот из четырех определений мне вполне хватало первого, а использование четвертого все бы сильно усложнило. Mir76 17:56, 29 ноября 2009 (UTC)
      • Попробуй после этого учесть два противоположных подхода: от простого к сложному, и от общего к частному! Трудноразрешимая задача. --OZH 11:55, 30 ноября 2009 (UTC)

Цель правок

Понятие непрерывного отображения является одним из самых важных математических понятий. Я считаю, что данная статья должна быть достаточно подробной и разветвлённой (выводить на множество других статей Википедии). После того, как я обнародую свои замечания и соберу весь необходимый материал, я займусь переписыванием данной статьи. Надеюсь, к этому моменту будет достигнут консенсус по поводу содержания статьи. --OZH 20:06, 26 ноября 2009 (UTC)

Это о чём? --Тоша 21:50, 26 ноября 2009 (UTC)

Это о том, что статья будет мною переписана. Есть ли возражения? Или предложения? Или Вы считаете, что всё и так хорошо? --OZH 07:04, 27 ноября 2009 (UTC)

Можно новый вариант статьи разместить здесь, в СО. Но потом придётся переносить одной правкой... Иначе придётся править саму статью. --OZH 07:04, 27 ноября 2009 (UTC)

Если так, то для обсуждения используйте Подстраницу участника, а ссылку оставьте здесь. Лично я с удовольствием посмотрю на Ваши предложения. --Quijote 11:59, 28 ноября 2009 (UTC)

Я СИЛЬНО ПРОТИВ. Мой опыт говорит что «переписанные» статьи хуже оригиналов. Я не вижу причин «переписывать» эту статью, но разумеется есть много способов улучшить то, что есть. --Тоша 19:19, 28 ноября 2009 (UTC)

Скажем так, ничему не противоречит, если OZH перепишет у себя на подстранице, а потом предложит сравнить. Действительно, есть вероятность, что станет хуже, но может получиться и лучше. Увы, если окажется, что набело написанный текст хуже, то это будет потраченное время -- но, с другой стороны, с некоторыми статьями у меня тоже возникает желание переписать начисто, чтобы избавиться от уже "вмороженного" в текст неудачного изложения. Так что -- моё мнение, пожалуй, нейтральное: шкуру неувиденного медведя обсуждаем. :) --Burivykh 18:14, 29 ноября 2009 (UTC)

• Я так и сделаю. Напишу у себя и дам ссылку. А можно туда перенести текущую версию для работы? --OZH 11:58, 30 ноября 2009 (UTC)

  Сделано: Участник:OZH/Непрерывное отображение; я убрал ссылки на другие языки и категории, чтобы случайно не помешали чему-нибудь (это просто последние несколько строчек). --Burivykh 12:20, 30 ноября 2009 (UTC)

  Спасибо. Я попробую. --OZH 18:05, 30 ноября 2009 (UTC)

  Работа начата... --OZH 18:54, 1 декабря 2009 (UTC)

• Также предлагаю посетить Проект:Математика/Основные понятия. Хочется как-то централизовать работу над математическими статьями... --OZH 12:34, 1 декабря 2009 (UTC)

Промежуточный результат

Работая над своим вариантом статьи, я пришёл к выводу, что не стоит в одной статье смешивать несколько уровней абстракции. Поэтому я сконцентрировался исключительно на числовых функциях, как на материале, где можно на пальцах показать взаимосвязи этого понятия с другими так, как это делается в математическом анализе. Я решил довести этот вариант статьи до конца. В конечном итоге, необходимо написать, по крайней мере, две статьи с похожими названиями:

• Непрерывное отображение (а также Передел функции),
• Непрерывное отображение (обобщения) (а также Передел функции (по базе)).

Основную статью я доведу до конца и представлю на ваш суд. --OZH 20:01, 7 декабря 2009 (UTC)

Дело близится к завершению, но я сильно сомневаюсь, что от этой статьи что-либо останется при том походе, которого придерживается Тоша. :( --OZH 20:30, 12 декабря 2009 (UTC)

Предполагаемая структура статьи

Пока моё видение статьи нашло отражение в следующей ниже структуре. --OZH 08:38, 8 декабря 2009 (UTC)

Преамбула [Я не определился с тем, как должна быть оформлена преамбула. Я выступаю за длинную преамбулу, а участник Тоша — за короткую.]

• Сейчас написано: «Непреры́вное отображе́ние или непрерывная функция — это такое отображение, у которого малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения отображения».
• Должно быть: «Непреры́вное отображе́ние или непрерывная функция — это такое отображение, у которого при стремлении аргумента функции к определённому значению значения функции стремится к значению функции в данной точке».

Если делать преамбулу ультракороткой, то возникает проблема формулировки понятия в одно предложение. Если делать преамбулу не столь короткой, то можно указать на взаимосвязь понятий непрерывности функции на множестве, непрерывности функции в точке, предела функции в точке.

Ещё одна проблема — это предмет статьи. Я ограничил рассмотрение только вещественнозначными функциями одного вещественного переменного в том виде, как это делается в математическом анализе. Любые обобщения, на мой взгляд, должны быть описаны в других статьях (включая и многомерный случай).

В связи с этим возникает вопрос о разделении статей: я бы предложил ввести две статьи Непрерывная функция (для описания случая, рассматриваемого в математическом анализе) и Непрерывное отображение (по мотивам существующей статьи, где содержался бы обзор существующих понятий непрерывности, включая многомерные отображения, отображения метрических и топологических пространств). Если это поможет исключить возможные конфликты и, к тому же, позволит полнее и точнее изложить суть предмета, то я был бы не против детально обсудить этот вопрос. (Для таких вопросов и предназначался мой проект Проект:Математика/Основные понятия!)

Если разделение всё-таки будет осуществлено, то текущую статью можно будет дополнять так, как это понимает участник Тоша, а у новой статьи будет уже своя собственная история правок (со своим подходом).

Введение [Должно в сжатом виде описывать содержание статьи в самых общих словах, наглядно и без формул.]

• Понятие непрерывности: взаимосвязь понятий непрерывности функции на множестве, непрерывности функции в точке, предела функции в точке.
• Точки разрыва
• Важнейшие свойства непрерывных функций: максимальные, минимальные и промежуточные значения, неподвижные точки, пространства непрерывных функции, композиция непрерывных функций
• Непрерывность и дифференцируемость: функция Вейерштрасса
• Непрерывность отображения в топологии: гомеоморфизмы

Определения

• [Обозначения]: окрестности и базы окрестностей
• Предел функции
• Колебание функции
• Непрерывность в точке
• Непрерывность на множестве
• Равномерная непрерывность
• Односторонний предел
• Точки разрыва
• Непрерывность почти всюду

Свойства

Я планировал здесь перечислить основные свойства непрерывных функций (а, также, свойств точек разрыва) в виде последовательности утверждений в следующей форме: сначала даётся формулировка свойства на естественном языке без формул, затем даётся точная математическая формулировка. В принципе, всё, что здесь есть можно перенести в раздел «Теоремы», где можно привести также и некоторые доказательства в наиболее важных случаях, а данный раздел упростить до простого списка, как это и было сделано раньше. Если поступит такое предложение, я попробую так сделать.

• Финальная ограниченность
• Сохранение знака
• Сумма и произведение непрерывных функций
• Частное от деления непрерывных функций
• Композиция непрерывных функций
• Непрерывность и компактность: Теорема Больцано-Коши о промежуточном значении, Теорема Вейерштрасса о максимальном значении, Теорема Кантора о равномерной непрерывности
• Непрерывность и монотонность: Теорема об эквивалентности инъективности и монотонности, Теорема о монотонности обратной функции, Теорема о разрывах монотонной функции, Теорема о непрерывности монотонной функции, Теорема об обратной функции

Теоремы (раздел сейчас скрыт) [Здесь даются важнейшие теоремы для непрерывных функций вместе с их доказательствами на формальном языке.]

Сюда можно перенести материал из предыдущего раздела, но уже без словесных формулировок, но с доказательствами важнейших теорем (там где метод доказательств имеет важное методическое значение).

• Теорема о максимальном и минимальном значении функции на отрезке (компакте)
• Теорема о равномерной непрерывности на отрезке (компакте)
• Теорема об обратной функции

Примеры

• Элементарные функции
• Функция с устранимым разрывом
• Функция знака
• Ступенчатая функция
• Функция Дирихле
• Функция Римана

Связанные понятия (раздел сейчас скрыт)

• Модуль непрерывности
• Полунепрерывность
• Полином (многочлен) наилучшего приближения
• Ростки непрерывных функций
• Дифференцируемость
• Интегрируемость

Приложения (раздел сейчас скрыт)

• Теория приближений (теория аппроксимации): теорема Вейерштрасса о приближении функций полиномами.
• Теория дифференциальных уравнений: теорема о существовании решений задачи Коши, ломанные Эйлера.

См. также (пока неясно, на что ссылаться) [Здесь собраны вместе ссылки на основные понятия (упомянутые в статье) для дальнейшего ознакомления.]

Примечания (Если потребуются.)

Литература [Здесь приводится основная литература (небольшое количество).]

---

• Очень напоминает текущую структуру :) Не вижу проблем в перечислении всех определений в одной статье (как сейчас). Mir76 10:46, 8 декабря 2009 (UTC)

  Под перечислением всех определений я понимаю перечисление тех понятий, которые необходимы для описания непрерывности. Речь не идёт о перечислении всех возможных определений понятия непрерывности в точке (или на множестве). Работая над своей версией статьи (в личном пространстве), я убедился в том, что в ВП должно быть, по крайней мере, две статьи о непрерывных функциях: одна — про непрерывность числовых функций в анализе, другая — о непрерывности с общей точки зрения. продолжая работу, я буду здесь приводить развёрнутые планы каждого раздела, и вы (мн. число) сможете увидеть логику изложения. По срокам могу сказать так: работы хватит до конца текущей недели. --OZH 16:56, 8 декабря 2009 (UTC)

Промежуточный итог

Я решился воплотить в жизнь возникшую у меня идею о разделении статей. После того, как я посоветовался с участником Burivykh:

…Если у Вас есть желание вносить правки, делайте это -- я буду отслеживать список наблюдения. На самом деле -- может быть, проще будет, если после Ваших правок я чуть-чуть пройдусь по Вашему тексту (а если Вам не понравится -- откатите, благо в Вики ничего не пропадает!). Что скажете? --Burivykh 22:17, 20 декабря 2009 (UTC)

…Было бы крайне желательно определиться сначала с взаимоотношением между вариантами: новым и старым. Если мой вариант можно сделать новой (самостоятельной) статьей, то следовало бы сначала создать новую страницу (убрав перенаправление), посвятив её исключительно вещественнозначным функциям вещественного переменного (что, на мой взгляд, является наиболее ценным для Википедии), оставив всякие обобщения (включая и наиболее абстрактные топологические обобщения) на долю других статей. Если Вы согласны с таким подходом, то вычиткой, правкой (включая и перенос вспомогательного материала в другие статьи, например, про окрестности) и дополнениями хотелось бы заняться уже в основном, а не в личном пространстве. --OZH 11:11, 21 декабря 2009 (UTC)

Да, идея, что «непрерывная функция» будет чисто вещественной статьёй, а все обобщения будут в статье «непрерывное отображение» (и между этими статьями будут взаимные ссылки), мне кажется разумной. Я бы был более осторожен в сильных модификациях «соседних» статей, надо аккуратно смотреть… --Burivykh 18:08, 21 декабря 2009 (UTC)

я принял решение убрать перенаправление со статьи «Непрерывная функция» на статью «Непрерывное отображение». Подготвленный мною материал я перенесу на новую страницу, а существующую статью нужно будет существенно исправить, удалив из неё всё, что дублируется в новой применительно к одномерному случаю, зато теперь, старую статью можно будет существенно расширить за счёт новых сведений о непрерывных отображениях в линейных пространствах (непрерывность в нуле и т.п.), топологических пространствах вплоть до непрерывных групп преобразований (с выходом на геометрию; помним, что нужна ещё гладкость, но это уже другая тема). Было бы крайне желательно обсуждать любые изменения до того, как их предполагается совершить. Мой алгоритм прост:

1. Создаю новую статью: переношу текст, викифицирую.
2. Дополняю статью новыми сведениями: связанные понятия и приложения.
3. Вычитываю статью и приглашаю к обсуждению других.
4. Переношу часть вспомогательного материала в другие статьи: например, статья «Окрестность».
5. Редактирую статью Непрерывное отображение.
6. Начинаю править смежные статьи: Предел функции, Непрерывные функции (обобщения) (новая), Предел последовательности и, собственно, Последовательность.

Параллельно, я работаю над статьями про сходимость функциональных последовательностей и семейств (например, Поточечная сходимость), а, также, например, над статьёй про теорему Асколи-Арцела, что потребует, в конечном итоге, редактирования статьи Функциональные ряды и Компактное пространство. Если вы (множ. число) чувствуете, что может возникнуть конфликт интересов, то будет лучше, сразу предупредить об этом на СО соответствующей статьи. Все предполагаемые и вносимые мною правки будут сопровождаться сообщениями на СО.

Пока всё. --OZH 08:01, 22 декабря 2009 (UTC)

Если активно правите какую-то статью, не забывайте про {{Пишу}}. infovarius 19:58, 22 декабря 2009 (UTC)

О! Как раз {{subst:L}} хотел посоветовать. Мысли сходятся! :) --Burivykh 20:58, 22 декабря 2009 (UTC)

To OZH: удачи! --Burivykh 20:58, 22 декабря 2009 (UTC)

Новая редакция (11 января 2010 года)

Я существенно почистил статью, освободив её от материала, относящегося к непрерывным числовым функциям. Я собираюсь переориентировать текущую статью в сторону обзора понятий непрерывности отображений в различных пространствах. Результат должен выглядеть как обзор. --OZH 20:07, 11 января 2010 (UTC)

Разрыв

А так ли уж устранимый разрыв здесь не нужен? (И куда его тогда?) --Burivykh 18:42, 1 июня 2010 (UTC)

Не понял вопроса. ;-) Я же, вроде, удалил его, как дубликат из статьи «Непрерывная функция». Здесь совершенно невозможно говорить об односторонних приделах. Даже для двумерного случая, не совсем понятно, что такое предел функции в точке, когда он может быть различен при различном стремлении к самой точке. --OZH 19:07, 1 июня 2010 (UTC)

Концептуальное изменение

Поскольку статья называется Непрерывное отображение, то она должна исходить из наиболее общих понятий. Поэтому я изменил концепцию изложения - от общего к частному. Преамбулу не трогал. Добавил также раздел про свойства непрерывных отображений. Здесь пока маловато, надо дописывать.MyWikiNik 18:03, 20 января 2012 (UTC)

1) Здесь не учебник для студентов-математиков, а общечеловеческая энциклопедия. Поэтому последовательность должна быть ровно обратной - от самых простых вещей, понятных широкому кругу - постепенно переходить к уточнениям для специалистов, от школьной математики к вузовской.

2) Такие глобальные правки лучше сначала обсудить, а потом уже делать. Mir76 18:32, 20 января 2012 (UTC)

Согласен, что не учебник, и нужно обсуждать. Прошу прощения. Но название статьи является весьма общим и должно быть дано общее понятие. Конечно подход от простого к сложному тоже имеет право на существование. Но в данном случае от общего к частному лучше так как видно, что реально в конкретных случаях мы имеем лишь частные случаи. Более того я сохранил многие определения, приведенные в статье и сохранил преамбулу для нестрого изложения. Если конечно, вы считаете что моя концепция изложения не хороша, то можете править смело или просто откатить, но хотелось бы объективного анализа того, что не так. В "общечеловеческой энциклопедии" в данном случае определяется вовсе не "общечеловеческое" понятие, а фундаментальное математическое понятие. Преамбула для упрощенного представления. Общее определения для более или менее строго понимания на основе минимально необходимых структур (топологии), а далее конкретные приложения в случае метрических и, в частности нормированных линейных пространств. Я многое сохранил из написанного изменил лишь порядок и структуру и добавил то, что считал важным.MyWikiNik 06:46, 21 января 2012 (UTC) Если вы посмотрите на общее определение, которое я привел, то оно выглядит гораздо проще, чем то определение (точнее формулировка его), которое было, и которое я сохранил для топологических пространствMyWikiNik 06:53, 21 января 2012 (UTC)

В преамбуле есть фраза, которая не совсем верна - о том, что непрерывными оказываются линейные функционалы и линейные операторы. Эта фраза верна только для ограниченных линейных операторов (в частности функционалов) в нормированных пространствах. Но в общем случае линейных операторов в произвольных линейных пространствах это неверно, во-первых, есть неограниченные линейные операторы, во вторых в ненормированных пространствах даже из ограниченности может не следовать непрерывность.MyWikiNik 09:59, 22 января 2012 (UTC)

Почему убрали

Уважаемый Тоша. Не могли ли вы пояснить почему вы убрали важное наиболее общее определение непрерывности в топологических пространствах, которое я приводил. Дело в том, что все остальные определения частных случаев в метрических, нормированных и в случае обычной числовой функции являются частными случаями именно этого определения. А вы оставили только критерий непрерывности - прообраз открытого множества открыт. Из этого определения напрямую нельзя увидеть метрическое определение. А из исходного можно. Там было сказано, что для любой окрестности образа точки существует окрестность самой точки, образ которого является подмножеством окрестности образа точки. Это можно сделать какой бы малой мы бы не выбирали окрестность образа точки. Это означает, что мы всегда можем найти точки, близкие к данной, образ которых также сколь угодно близок к образу точки. Это очень важное определение. Именно из него следует метрическое определение дельта-эпсилон, которое гласит, что какое бы эпсилон мы бы ни выбрали всегда найдется дельта, такое что все точки, удаленные от данной менее дельты, имеют образы, удаленные от образа данной не более чем на эпсилон. Это и означает, что для всякой окрестности образа, мы найдем окрестность прообразов, при отображении которой получим подмножество этой окрестности образов. Я считаю это важным определением. Более того оно исходное. А критерий - прообраз открытого открыт - хотя и эквивалентен этому определению хуже отражает смысл непрерывности. Я полагаю надо оставить оба определения.MyWikiNik 11:37, 28 марта 2012 (UTC)

Второй момент. Вы убрали понятие секвенциальной непрерывности из общего топологического понятия в раздел вариации и обобщения. Это конечно допустимо, но думаю нерационально. Посмотрите раздел про числовую функцию. Там это определение фигурирует как ни в чем не бывало. А общего понятия такого не было. Понимаете, секвенциальная непрерывность эквивалентна обычной для большинства пространств, ну в частности, для всех метрических пространств - а это огромный класс. Мне кажется, выделят это как вариацию и обобщение не стоит. Тем более что обобщением это точно не является.MyWikiNik 11:48, 28 марта 2012 (UTC)

Третий момент. Вы убрали указание на то, что из того, что образ компактного множества при непрерывном отображении компактен, следует что непрерывная числовая функция на любом компакте достигает нижней и верхней граней. Вы эти свойства оставили как независимые. Думаю лучше упомянуть, что второе - это следствие первого. Так как компактность в случае конечномерных нормированных пространств (а значит и для обычной числовой оси) эквивалентна ограниченности и замкнутости, следовательно интервал значений образа компактного множества при отображении непрерывной числовой функцией должен быть ограниченным и замкнутым интервалом, что и означает, что функция достигает нижней и верхней граней. Полагаю важно знать взаимосвязь свойств.MyWikiNik 12:36, 28 марта 2012 (UTC)

Четвертый момент. Вы резко сократили преамбулу статьи и перенесли ее в раздел "Определения". И думаю зря. Преамбулу можно было изменить, но перемещать в "определения" не стоит. Полагаю определения должны быть общие (топологические) и далее частные случаи - метрические пространства, линейные нормированные пространства, обычные числовые функции. MyWikiNik 16:42, 28 марта 2012 (UTC)

MyWikiNik, эта статья о непрерывном отображении, но не о непрерывности в точке. про непрерывность в точке, также как про секвенциальную непрерывность можно (и нужно) сказать в «вариацияхи и обобщениях». (Для числовой функции эти понятия совпадают поэтому и «фигурируют как ни в чём не бывало».) Можно (и нужно) обяснить почему метрическое и топологическое определения эквивалентны, но НЕ путём добаления ещё одного определения.

Я консерватор и минималист --- это объясняет большинство моих правок. Я вижу, что Вы активно работаете над статьёй --- проверю-подправлю её через неделю-две. --Тоша 23:19, 30 марта 2012 (UTC)

Уважаемый Tosha. На счет того, что статья не о непрерывности в точке, а про непрерывное отображение - не совсем корректное противопоставление. Дело в том, что непрерывность отображения определяется изначально как его же непрерывность в точках и лишь непрерывность во всех точках означает непрерывность отображения во всем множестве или пространстве. Сказать про непрерывность в точке в "варицациях и обобщениях" - это ну совсем никак нельзя. Если про секвенциальную непрерывность еще куда ни шло, то тут никак. Определение непрерывного в данной точке отображения я написал. Могу дать ссылку если надо (найду и напишу данные). Противопоставлять непрерывность в точке и на множестве или в пространстве в целом - некорректно, это вложенные понятия. Тем более все определения в частных пространствах приведены как определения непрерывности в точке, но почему то у вас там вопросов не возникает. Что касается секвенциальной непрерывнсти, то здесь возможны варианты изложения, но думаю сейчас я оптимально сделал. MyWikiNik 04:25, 31 марта 2012 (UTC)

По поводу ссылки - Садовничий В.А. Теория операторов. Учеб. для вузов. 3-е изд., стер. - М. Высш. шк., 1999. - 368 с. Достаточно посмотреть определение 12 на стр. 28. А далее приведена лемма 4, которая гласит, что отображение непрерывно тогда и только тогда, когда полный прообраз любого открытого множества открытMyWikiNik 08:10, 31 марта 2012 (UTC)

MyWikiNik, я это вижу так: определение «непрерывности» проще чем определение «непрерывности в точке». Я за простоту, поскольку непрерывность в точке связана с темой статьи её следует упомянуть и мне кажется разумно это сделать в Вариациях и обобщениях. Я не хочу мешаться Вам во время работы --- делайте как считаете нужным я посмотрю, что у Вас получилось позже. --Тоша 02:04, 1 апреля 2012 (UTC)

Уважаемый Тоша. То что вы называете определением "непрерывности", определением на самом деле не является. Это критерий непрерывности, правда необходимый и достаточный. Ну не знаю как объяснять в чем разница. Это как понятие равенства треугольников и теоремы о критериях равенства их. Это не одно и то же. Еще раз отмечу - непрерывность определяется как непрерывность в каждой точке. Это исходное понятие. А критерий - прообраз открытого множества открыт - это не определение. Оно трудно поддается содержательной интерпретации, в отличие от исходного определения. Или тогда, чтобы дискуссия была более предметной, не могли бы вы указать ссылки на источники, где дается именно такое определение непрерывного отображения, без привлечения понятия непрерывности в точке. Я честно об этом не слышал.MyWikiNik 12:10, 1 апреля 2012 (UTC)

Предложил бы в преамбуле всё-таки оставить определение «прообраз каждого открытого множества открыт» в виду ясности и лаконичности, и в моём понимании, это определение — не просто необходимый и достаточный критерий (его и доказывать-то не нужно), а естественный эквивалент любого локального определения. А вот в секционной части — вводить методично, от локального к общему. Впрочем, это мнение по ощущениям, не основанное на какой-то надёжной системе, «взгляд одного из читателей», bezik 12:57, 1 апреля 2012 (UTC)

MyWikiNik, то что я называю определением является стандатным определением в общей топологии (посмотрите пару книжек --- непрерывность в точке в общей топологии практически не рассматривается). Определение в точке обычно рассматривается в анализе...--Тоша 17:16, 1 апреля 2012 (UTC)

• Хорошо. Был не прав. Если быть точным, то есть разные подходы к изложению. Можно начать с непрерывности в точке, а можно и с общей непрерывности. Просто в тех источниках, которые были у меня подход - от непрерывности в точке. Если применять подход от непрерывности в целом к непрерывности в точке, то должна быть фраза (на самом деле в этом случае теорема) о том, что отображение непрерывно тогда и только тогда, когда оно непрерывно в каждой точке. И далее должно быть определение непрерывности в точке. Кроме того, остается вопрос, а почему бы не указать и другие общие эквивалентыне определения, типа прообраз любого замкнутого множества замкнут, или есть еще какое то с замыканием. Думаю их тоже бы надо упомянуть тогда. MyWikiNik 05:33, 2 апреля 2012 (UTC)
• Непрерывность в точке — это, всего лишь, локальная точка зрения. Здесь не может быть нескольких подходов. Понятие непрерывности на (под)множестве (пространстве) и непрерывность в точке — две взаимодополняющих части, которые должны даваться в статье в одном и том же месте. Это и есть энциклопедическое содержание статьи: описать взаимоотношение локальной и глобальной точек зрения и сообщить, что в матане (по историческим причинам) оказалось первичным локальное определение. Так что не вижу никакого смысла в противопоставлении и, вообще, не вижу предмета для разговора (в данном случае). Не понимаю: почему участник Тоша придумывает проблему там. где её нет? --OZH 05:50, 4 апреля 2012 (UTC)
• Ну здесь дело не столько в участнике Тоша. Я всегда считал, что непрерывность определяется изначально локально. Но посмотрев интернет-публикации понял, что нередко идут в топологии от обратного, то есть дают определение "прообраз открытого открыт", дают понятие "непрерывности в точке" и доказывают как теорему "отображение непрерывно тогда и только тогда, когда оно непрерывно в точке". Я же обычно придерживался другого подхода, когда сначала определяют "непрерывность в точке", потом дают определение непрерывности на множестве и в пространстве как непрерывности в каждой точке этого множества или пространства и затем доказывают теорему о том, что отображение непрерывно тогда и только тогда, когда полный прообраз открытого открыт. точно также как полный прообраз замкнутого замкнут. и т.д. Я не согласен с участником Тоша в том, что непрерывность в точке и непрерывность в целом надо как то отделять (тем более как он предлагал в "вариациях и обобщениях"). Я полагаю, что оптимальным было бы, чтобы в статье было сказано также и про возможность альтернативных изложений. Дело в том, что непрерывость имеет как минимум несколько (я насчитал около 5) эвивалентных топологических определения. Думаю это в статье должно быть.MyWikiNik 07:52, 4 апреля 2012 (UTC)

• Хочу со своим любительским мнением поддержать модификации в статье в направлении выстраивания материала от наиболее общего определения понятия (топологического) к частным: всё-таки мы пишем энциклопедию, а не дидактический материал, и важно уже начиная с преамбулы говорить о понятии в современном его понимании, максимально общо. И согласен с тем, что непрерывность отображения в точке и непрерывность отображения на множестве должны быть в одной энциклопедической сущности. Можно, конечно, попробовать переместить акцент на Непрерывность (математика), но так как без отображений непрерывность не ввести — то получается, что придётся просто в преамбуле сгородить лишнюю конструкцию. Другое дело, что доступность формулировок и простота прочтения — важные свойства для энциклопедической статьи, и как стройно проложить путь от общих определений к частным, да ещё и не забыть и исторический контекст (как понятие развивалось), и при этом не перегрузить статью промежуточными определениями — хорошая задача, и над этим тоже нужно работать, пытаясь перечитывать глазами непосвещённого, bezik 09:07, 31 марта 2012 (UTC)
  • Вообще хотелось бы узнать мнение других участников - может быть изменить название статьи на Непрерывность (математика) и внести дополнительные изменения в статью? MyWikiNik 08:20, 3 апреля 2012 (UTC)
    • Почитав статьи французских и немецких товарищей (у них статьи так и называют), подумал, что нужно стоит такой ход. Особо предложил бы обратить внимание на работу коллег из французского раздела (fr:Continuité): в преамбуле интуитивное введение, в секциях аккуратные определения, иллюстрации, примеры (единственное, что на мой вкус лучше бы ещё ввести раздел про историю, а далее суть излагать от топологии — далее к метрическим пространствам и анализу), bezik 19:52, 3 апреля 2012 (UTC)
      • Ммм... хорошо знать несколько языков. (Завидую…) Да, было бы неплохо. Только в математике много разных (хотя и взаимосвязанных) непрерывностей. Лично я хочу вывести статью «Непрерывное отображение» в хорошие, а для этого и так полно разного материала, который пока ещё отсутствует в статье. Мы даже ещё не озаботились источниками. Начну добавлять их вечером. (Если доберусь до компьютера.) Как только нам удастся написать приличные статьи про различные непрерывности, можно будет взяться за большой обзор в виде статьи «Непрерывность (математика)». --OZH 05:50, 4 апреля 2012 (UTC)
        • А всё-таки почему Непрерывность (математика) и Непрерывное отображение должны быть разными статьями? (Я понимаю, что есть, скажем, непрерывное множество или непрерывная дробь, но они к обсуждаемой непрерывности никакого отношения не имеют, а обсуждаемое понятие без отображений вроде как и не возникает), bezik 06:26, 4 апреля 2012 (UTC)
          • У каждой статьи свой предмет. Но пока ещё рано говорить о разделении. Давайте, сначала, напишем что-то одно. Про непрерывное множество я ничего не слышал, почему непрерывная дробь непрерывна, я не помню. Зато помню о непрерывных разбиениях и непрерывных группах. Без отображений в математике, вообще, ничего не возникает. --OZH 07:02, 4 апреля 2012 (UTC)
            • Нет я вообще не про разделение имел в виду. Переименование не самоцель, а лишь средство улучшения статьи. Конечно, пока можно работать в рамках данного. Я не настаиваю, но надо будет подумать. Это не обязательно, но думаю в будущем придется к этому вернуться. MyWikiNik 08:04, 4 апреля 2012 (UTC)

Предварительный итог

• Совершенно невозможно согласиться с участником Тоша. Это, как раз, тот яркий пример, когда «минимализм» делает статью неэнциклопедичной. Реплика участника Тоша выказывает отсутствие какого-либо представления о том, как следует писать обсуждаемую статью:
  • эта статья о непрерывном отображении, но не о непрерывности в точке — понятие непрерывности отображения содержит в себе понятие непрерывности отображения в точке как неотъемлемую часть: оторвать одно от другого невозможно, поэтому всякая попытка разорвать будет означать нарушение проверяемости статьи. Участник Тоша, по существу, предлагает, вообще, никак не оглядываться на источники. Разумеется, в преамбуле статьи должно быть рассказано о взаимоотношении «локальной» и «глобальной» непрерывности, но на самом деле, непрерывность — это локальное свойство, которое появляется в любом пространстве, где, так или иначе, вводится понятие близости.
  • про непрерывность в точке, также как про секвенциальную непрерывность можно (и нужно) сказать в «вариацияхи и обобщениях» — совершенно неуместно: обобщения непрерывности выглядят как-то совсем по другому, топологическое определение непрерывности самое общее и есть, следствие из определения является не «вариацией», а самостоятельным определением, принятым для определённых пространств. В математике, вообще, нет какого-то отдельного понятия секвенциальной непрерывности (секвенциальная компактность есть) и, в любом случае, все пределения (для различных типов пространств) должны быть перечислены в разделе «Определения».
  • Для числовой функции эти понятия совпадают поэтому и «фигурируют как ни в чём не бывало». — что стоит за этой фразой? опять же: энциклопедическая статья должна, как раз, объяснить читателю, что с чем и в каком случае совпадает или различается. Без этого объяснения статья превращается в свалку информации, чего уж точно не должно быть в Википедии.
  • Можно (и нужно) обяснить почему метрическое и топологическое определения эквивалентны, но НЕ путём добаления ещё одного определения. — определений в статье может быть сколько угодно: сколько их есть в источниках — столько и описываем.
• Полагаю, что истинный консерватизм всегда напоминает о том, что реально говорится в источниках (весьма характерно и показательно отсутствие ссылок на источники), а минимализм всегда будет стремится к наиболее краткому изложению сути дела (а не к сухому перечислению фактов без каких-либо объяснений и связок). Я бы посоветовал участнику Тоша воздержаться от правок математических статей, откатов, без предварительного обсуждения с другими участниками.
• В качестве итога. Переписал преамбулу, чтобы дать статье импульс для развития и приглашаю всех к плодотворному сотрудничеству. Преамбулу прошу пока не трогать, а заняться развитием самой статьи. Данная статья никак не может быть короткой. --OZH 12:58, 31 марта 2012 (UTC)

• На мой взгляд «итог» здесь не требовался --- идёт обычная работа над статьёй --- нет единого мнения но конфликта нет. На мой взгляд этот «итог» есть попытка оказать не меня давление. (Мне приятно, что обо мне так много пишут, но лучше бы Вы писали о статье.) --Тоша 18:50, 31 марта 2012 (UTC)
  • Если бы Вы сами писали о статье, то Вы обсуждали бы тот развёрнутый комментарий, который я дал выше, а не говорили бы о давлении. При обычной работе над статьёй имеет место содержательный разговор, требуются обоснования. Вот и приводите их, и тогда не придётся говорить о «давлении». Я бы и сам уже давно написал бы эту статью, но писать её, зная, что всё это будет существенно сокращено (за счёт существенной информации) и перетасовано (с разрушением нормальной структуры)… Вот и получается конфликт: одна сторона хочет что-то сделать, а другая — говорит о минимализме и консерватизме и старательно откатывает производимые изменения. --OZH 07:17, 1 апреля 2012 (UTC)

Ну должен сказать, что конфликта как такового в самом деле нет, есть несогласие с некоторыми правками. Тем не менее, благодарен за поддержку и помощь в улучшении статьи. Думаю надо продолжать улучшать статью, но рад, что нашел поддержку в общей концепции построения и изложения у некоторых участников.MyWikiNik 19:25, 31 марта 2012 (UTC)

Редакция статьи (с 1 апреля 2012 года)

Итак, приступим… --OZH 19:28, 1 апреля 2012 (UTC)

Преамбула

К сожалению, не всегда уменьшение количества слов приводит к хорошему результату. В данном случае имеем следующее:

1. близкие аргументы области определения переходят в близкие значения отображения, не создающее разрывов. — ну кто так формулирует? К тому же, оказывается, что «значения … не создающее разрывов»! Вдумайтесь в смысл написанного! Почему нельзя следовать источникам и нормальным человеческим языком ясно и точно описывать математические понятия?
2. Начинать надо сразу с формального определения, а не придумывать формулировку. В обзорных статьях, следует делать специальное «Введение», в котором можно неформально описать предмет статьи. Энциклопедия должна задавать высокий уровень, а не опускать его ещё ниже.
3. Определения других классах пространств могут быть рассмотрены как следствия общего определения, с использованием конструкций, введённых в специальных классах пространств, например, для отображений… — и это предлагается в качестве замены «очень тяжёлого текста»?!
4. и их многомерные обобщения — а что это такое? выражение «их обобщения на случай многомерных» гораздо точнее.
5. эквивалентные понятия — понятие непрерывности едино, эквивалентными могут быть только формулировки, да и то — при определённых условиях на пространства, что и составляет предмет математического рассмотрения.
6. такие определения непрерывности были исторически первыми и послужили основой для формирования общего понятия — это совершенно неуместно в преамбуле, зато очень хорошо смотрится во «Введении».
7. Взаимнообратные непрерывные отображения порождают важные… — требует переформулировки.
8. Вообще, очень жаль, что из преамбулы пропал абзац со сноской, где сразу объясняется соотношение между глобальной и локальной точками зрения.

Почему вопрос о преамбуле так важен? Потому что, во-первых, преамбула — это то, что в первую очередь читает читатель, а это значит, что в преамбуле должна сообщаться вся наиболее важная информация о предмете статьи, и никакие попытки перенести эти сведения в другие разделы не должны предприниматься, информация может только дублироваться. Во-вторых, преамбула должна содержать краткую выжимку того, о чём написано в статье. Преамбула, которая никак не расшифровывается в статье, плохая преамбула. Не стоит жалеть слов. Представьте, что у статьи есть только преамбула. Вот и попробуйте изложить наиболее важное. Всё, что лежит ниже преамбулы — подробности для дальнейшего изучения… Вот почему я считаю неправильным предпринятое сокращение текста. Хорошая статья — замкнутая статья. Не заставляйте читателя несколько раз переходить по ссылкам, когда всё можно рассказать в одной статье. А неудачная преамбула всегда порождает проблему: а как писать дальше статью? Да никак! Вот почему так важно сначала изложить самое главное и оттолкнуться от этого при написании подробностей. --OZH 19:28, 1 апреля 2012 (UTC)

• (1)-(2) подобным образом статья начинается в «Математической энциклопедии», и это естественно, более удачную вводную формулировку, дающую интуитивное понятие о непрерывности — предложите, ничего придуманного в формулировке нет; (3) не понял, что не так? (4)-(5) Ok, поменяю; (6) а мне показалось, что как раз уместно, показываем источник понятия, что оно возникло вовсе не в абстрактных разделах; (7) переформулируйте, пока ничего плохого не вижу; (8) локальное и глобальное определения вводятся в секционной части, не вижу смысла нагружать преамбулу. «Хорошая статья — замкнутая статья» — сомнительно, но то, что преамбула должна быть самостоятельно целостной — конечно, согласен, bezik 04:41, 2 апреля 2012 (UTC)
  • Исправил и переформулировал всё, что требуется. Думаю, сейчас, преамбула выглядит уже нормально — без лишних слов и тяжеловесных конструкций. Теперь преамбула содержит необходимый минимум, и к преамбуле можно будет вернуться уже после написания остальной части статьи. --OZH 06:12, 2 апреля 2012 (UTC)
    • В определениях не совсем хорошо. Если выбираем подход дать общее определение - полный прообраз открытого открыт - то тогда должна быть фраза "отображение непрерывно тогда и только тогда когда оно непрерывно в каждой точке пространства" и до или после этого - определение непрерывности в точке. Тут же - непрерывность на множестве. Не понял также переделки обозначений - вместо индексов в окрестностях появилась запись через скобочки. Дело конечно добровольное, но окрестность точки мне проще понять, если в индексе обозначено. MyWikiNik 06:23, 2 апреля 2012 (UTC)
      • Обозначения — условность. Важен ещё и эстетический аспект. Начал переписывать раздел «Определения»… --OZH 09:07, 2 апреля 2012 (UTC)

Раздел «Определения»

Внес изменения в определения. Думаю над объединением подразделов про непрерывные функционалы и непрерывную числовую функцию. Это разумно, но название пока короткое не придумал. Также надо думать над тем нужен ли подраздел в "Непрерывность в целом" в "Общем топологическом определении". Если да, то надо добавить. Также надо думать над преамбулой Определений (не статьи). Может придется переформулировать, а может и не нужно. Я в топологические определения добавил и другие эквивалентные варианты без символической записи. MyWikiNik 07:22, 6 апреля 2012 (UTC)

• Объединять не стоит. Разделы следует называть так: «Непрерывность в топологических пространствах» и т.д. --OZH 18:11, 8 апреля 2012 (UTC)

Есть также одна техническая, но немаловажная проблема. В определении непрерывной числовой функции (числового аргумента) учтено, что функция может быть определена не на всем пространстве, а только на части. А в общих определениях это как то не учитывается. Надо бы привести к единообразию, как мне кажется. И у меня вопрос к знающим людям - как определяется непрерывность на множестве (не на всем пространстве) без определения непрерывности в точке? Или такого определения нет?MyWikiNik 10:08, 6 апреля 2012 (UTC)

• Только в смысле индуцированной на подмножестве топологии. Завтра, в понедельник, я добавлю необходимые формулировки. --OZH 18:11, 8 апреля 2012 (UTC)

Исправил оформление, стиль и формулировки в начале раздела. Было бы неплохо продолжить написание статьи в заданным мною стиле. Так и до хорошей можно будет довести. ;-) --OZH 18:40, 9 апреля 2012 (UTC)

• • В принципе правки ваши пойдут. Но есть один вопрос. Вы убрали подраздельчик про непрерывность через предел последовательности и добавили его просто как одно из эквивалентных определений. А это правда эквивалентно для любых топологических пространств или все таки только для пространств с первой аксиомой счетности? 62.231.189.33 02:15, 10 апреля 2012 (UTC)
  • Еще момент. Вы написали "Отображение, непрерывное на некотором множестве, будет непрерывным в каждой точке данного множества". Это бесспорно. Но утверждение верно и в обратную сторону, поэтому может все таки написать как принято - "Отображение непрерывно на множестве тогда и только тогда, когда оно непрерывно в каждой точке данного множества"62.231.189.33 02:19, 10 апреля 2012 (UTC)
  • Последние два комментария были мои, забыл представитьсяMyWikiNik 02:23, 10 апреля 2012 (UTC)