Аксиомы отделимости

Аксиомы отделимости — наборы дополнительных требований, налагаемых на топологические пространства, позволяющие изучать ограниченные классы топологических пространств со свойствами в той или иной степени близкими к метрическим пространствам. На предположении выполнения аксиом отделимости основано применение такой техники математического доказательства, как принцип разделимости.

Аксиомы

Введено множество аксиом отделимости, наиболее широко используемых — шесть, обозначаемые соответственно T₀, T₁, T₂, T₃, T_3½, T₄ (от нем. Trennungsaxiom); кроме того, иногда используются другие аксиомы и их вариации (R₀, R₁, T_2½, T₅, T₆ и другие).

T₀

T₀ (аксиома Колмогорова): для любых двух различных точек $x$ и $y$ по крайней мере одна точка должна иметь окрестность, не содержащую вторую точку.

T₁

T₁ (аксиома Тихонова): для любых двух различных точек $x$ и $y$ должна существовать окрестность точки $x$, не содержащая точку $y$, и окрестность точки $y$, не содержащая точку $x$. Эквивалентное условие: все одноточечные множества замкнуты.

T₂

T₂ (аксиома Хаусдорфа, хаусдорфово пространство): для любых двух различных точек $x$ и $y$ должны найтись непересекающиеся окрестности $U(x)$ и $V(y)$.

T₃

T₃: Для любого замкнутого множества и не содержащейся в нём точки существуют их непересекающиеся окрестности. Эквивалентное условие: для любой точки $x$ и её окрестности $U$ существует окрестность $V$, такая, что $x\in V\subset {\bar {V}}\subset U$. Иногда в определение аксиомы отделимости T₃ включают требования аксиомы отделимости T₁. Также иногда в определении регулярного пространства не включается требование аксиомы T₁. Регулярное пространство — пространство, удовлетворяющие аксиомам T₁ и T₃.

T_3½

T_3½: для любого замкнутого множества $F$ и не содержащейся в нём точки $a$ существует непрерывная (в данной топологии) числовая функция $f(x)$, заданная на этом пространстве, принимающая значения от $0$ до $1$ на всем пространстве, причем $f(a)=0$ и $f(x)=1$ для всех $x$, принадлежащих $F$. Пространства, удовлетворяющие аксиомам T₁ и T_3½ называются вполне регулярными пространствами или тихоновскими пространствами; при этом иногда выполнение T₁ включают в определение T_3½, а в определении вполне регулярного пространства не включают требование аксиомы T₁ (тогда в определение тихоновского пространства она включается).

T₄

T₄: для любых двух замкнутых непересекающихся множеств существуют их непересекающиеся окрестности. Эквивалентное условие: для любого замкнутого множества $F$ и его окрестности $U$ существует окрестность $V$, такая, что $F\subset V\subset {\bar {V}}\subset U$ (${\bar {V}}$ — замыкание $V$). Нормальное пространство — пространства, удовлетворяющие T₁ и T₄. Иногда в определение T₄ включают требование выполнения T₁, а в определении нормального пространства не включается требование T₁.

Свойства

Некоторые соотношения аксиом отделимости и связанных с ними классов друг с другом:

• $T_{0}$, $T_{1}$ и $T_{2}$ не следуют из остальных аксиом (если в их определение не включается аксиома $T_{1}$);
• из $T_{1}$ следует $T_{0}$;
• регулярные пространства являются хаусдорфовыми;
• вполне регулярные пространства являются регулярными;
• нормальные пространства являются также и вполне регулярными;
• компактные хаусдорфовы пространства являются нормальными.

Литература

• О. Я. Виро, О. А. Иванов, В. М. Харламов и Н. Ю. Нецветаев Задачный учебник по топологии
• Энгелькинг Р. Общая топология: Пер. с англ. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
• Келли, Дж. Л. Общая топология. — М.: Наука, 1968.
• И. М. Виноградов. Отделимости аксиома // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985. — статья из математической энциклопедии, автор — В. И. Зайцев