Принцип разделимости

Принцип разделимости (или принцип отделимости) — один из принципов доказательств в математике, основанный на том, что некоторые не пересекающиеся множества могут быть некоторым образом разделены в пространстве. Являясь всего лишь принципом (а не аксиомой), принцип разделимости требует доказательства обоснованности применения в каждом конкретном случае.

Применение принципа разделимости существенно основано на выполнении аксиом отделимости для данного пространства.

Отделимость в евклидовом пространстве

В конечномерном евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{n}$ принцип разделимости работает всегда, в том смысле, что для любых двух замкнутых непересекающихся множеств существует поверхность, разделяющая пространство на две непересекающиеся части так, что каждое множество целиком принадлежит одной из этих частей.

Отделимость в банаховом пространстве

В функциональных (в частности, банаховых) пространствах достаточно сложно гарантировать отделимость произвольных множеств. Тем не менее, в частных случаях задача решается достаточно легко. Например:

• Любые два непересекающихся выпуклых множества, одно из которых имеет непустую внутренность, можно разделить гиперплоскостью.
• Любые два непересекающихся замкнутых выпуклых множества, одно из которых компактно, можно сильно разделить гиперплоскостью.

Связанные определения

Множества A и B в банаховом пространстве называются разделимыми, если существует такой функционал p, что для любых $a\in A$, $b\in B$

$\langle p,a\rangle \leq \langle p,b\rangle$

Множества A и B в банаховом пространстве называются сильно разделимыми, если существует такой функционал p, что для любых $a\in A$, $b\in B$

$\langle p,a\rangle <k<\langle p,b\rangle ,\,k\in {\mathcal {R}}$

Применение

Принцип разделимости используется при доказательстве многих сильных геометрических утверждений. В частности, с его помощью обосновываются опорный принцип и теорема Фенхеля — Моро.

См. также

• Функциональная отделимость
• Сепарабельность

Литература

• Половинкин Е. С, Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: Физматлит, 2004. — 416 с — ISBN 5-9221-0499-3