Принцип разделимости

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Принцип разделимости (или принцип отделимости) — один из принципов доказательств в математике, основанный на том, что некоторые не пересекающиеся множества могут быть некоторым образом разделены в пространстве. Являясь всего лишь принципом (а не аксиомой), принцип разделимости требует доказательства обоснованности применения в каждом конкретном случае.

Применение принципа разделимости существенно основано на выполнении аксиом отделимости для данного пространства.

Отделимость в евклидовом пространстве[править | править исходный текст]

В конечномерном евклидовом пространстве Rn принцип разделимости работает всегда, в том смысле, что для любых двух замкнутых не пересекающихся множеств существует поверхность, разделяющая пространство на две не пересекающиеся части так, что каждое множество целиком принадлежит одной из этих частей.

Отделимость в банаховом пространстве[править | править исходный текст]

В функциональных (в частности, банаховых) пространствах достаточно сложно гарантировать отделимость произвольных множеств. Тем не менее, в частных случаях здача решается достаточно легко. Например:

  • Любые два непересекающихся выпуклых множества, одно из которых имеет непустую внутренность, можно разделить гиперплоскостью.
  • Любые два непересекающихся замкнутых выпуклых множества, одно из которых компактно, можно сильно разделить гиперплоскостью.

Связанные определения[править | править исходный текст]

Множества A и B в банаховом пространстве называются разделимыми, если существует такой функционал p, что для любых a\in A, b\in B

\langle p, a\rangle \le \langle p, b \rangle

Множества A и B в банаховом пространстве называются сильно разделимыми, если существует такой функционал p, что для любых a\in A, b\in B

\langle p, a\rangle < k < \langle p, b \rangle, \, k\in \mathcal{R}

Применение[править | править исходный текст]

Принцип разделимости используется при доказательстве многих сильных геометрических утверждений. В частности, с его помощью обосновываются опорный принцип и теорема Фенхеля — Моро.


См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Половинкин Е. С, Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: Физматлит, 2004. — 416 с — ISBN 5-9221-0499-3