Алгоритм Робинсона — Шенстеда

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Алгоритм Робинсона — Шенстеда — комбинаторный алгоритм, впервые описанный Робинсоном (англ.) в 1938, который устанавливает биективное соответствие между элементами симметрической группы S_n и парами стандартных таблиц Юнга той же формы. Он может рассматриваться как простое конструктивное доказательство тождества

\sum_{\lambda\vdash n} (f^\lambda)^2= n!

где \lambda\vdash n означает, что \lambda пробегает все разбиения n и f^\lambda — количество стандартных диаграмм Юнга формы \lambda. Это достигается путём построения отображения из пар \lambda-таблиц (P,Q) в перестановки b.

Определение[править | править вики-текст]

Алгоритм Робинсона — Шенстеда начинает работу с перестановки b, записанной в лексикографическом порядке:

\begin{matrix}1 & 2 & 3 & \cdots & n\\ b_1 & b_2 & b_3 & \cdots & b_n \end{matrix}

где b(i)=b_i, или вообще в виде каких-либо лексикографически упорядоченной последовательности пар:

\begin{matrix}a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n\\ b_1 & b_2 & b_3 & \cdots & b_n \end{matrix}

с a ia i + 1 и b ib i + 1 при a i = a i + 1 , и продолжает, создавая последовательность упорядоченных пар таблиц Юнга той же формы:

(P_0,Q_0), (P_1,Q_1),(P_2,Q_2),\ldots,(P_n,Q_n),

где P_0=Q_0=\varnothing являются null экспортировались. Выходной semistandard прибавились являются P=P_n и Q=Q_n. Последовательности строится путем, на каждый шаг построения P_i, вставив b_i в P_{i-1} и строительства Q_i, размещение (Добавление элемента на указанный угол) a_i в Q_{i-1}.

Учитывая таблицы Юнга T, чтобы Вставить строку x в T,

  • Установите R равным первой строке T

Хотя R содержит элемент больше, чем x, делать

* Пусть y быть наименьшим элементом R больше, чем x.
* Заменить y по x в R.
* Установить x=y и R равным следующую строку вниз.
  • Место x в конце строки R и стоп.

Таким образом, алгоритм Робинсона — Шенстеда действует следующим образом:

  • Установите P_0=Q_0=\varnothing

Для i=1 для n

* Построить P_i, добавив строку b_i в P_{i-1}
* Построить Q_i, поставив a_i в Q_{i-1} на том же углу курсор прекращено (так, что P_i и Q_i имеют одинаковую форму)

Возвращение (P_n,Q_n)

Алгоритм обратим и производит пару полустандартных таблиц Юнга прибавились, которые являются стандартными, если a_i=i и b_i — перестановка. Кроме того если перестановка b дает пару (P_n,Q_n) его обратная permuation b^{-1} дает пару (Q_n,P_n). В более общем плане если пара a,b дает пару (P_n,Q_n) тогда b,a дает пару (Q_n,P_n).

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

  • Шенстед независимо обнаружил алгоритм и обобщил его для случая, когда P является полу-стандартным и b — это любая последовательность чисел n.
  • Алгоритм Робинсона — Шенстеда — Кнута был разработан Кнутом и устанавливает биективное соответствии между обобщенными перестановками (двойные массивы лексикографически упорядоченных положительных целых чисел) и пар полу-стандартных таблиц Янга той же формы.

Ссылки[править | править вики-текст]