Альтернатива Титса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Альтернатива Титса — теорема о строении конечно порожденных линейных групп. Названа в честь Жака Титса.

Формулировка[править | править код]

Пусть  конечно порождённая линейная группа[en]* над некоторым полем. Тогда для выполняется в точности одно из следующих утверждений

Следствия[править | править код]

Вариации и обобщения[править | править код]

Говорят, что группа удовлетворяет альтернативе Титса, если для каждая подгруппы почти разрешима или содержит неабелеву свободную подгруппу. Иногда в определении дополнительно предполагают, что конечно порождена.

Примеры групп, удовлетворяющих альтернативе Титса, включают линейные группы, а также:

Примеры групп, не удовлетворяющих альтернативе Титса:

О доказательстве[править | править код]

В доказательстве рассматривают замыкание группы в топологии Зарисского. Если разрешима, то и группа разрешима. В противном случае переходят к рассмотрению образа в компоненте Леви . Если она некомпактна, то пинг-понг лемма[en] завершает доказательство. Если она компактна, то либо все собственные значения элементов в образе корни единицы, а значит, образ конечен, или можно найти вложение, для которого применима пинг-понг лемма.

Примечания[править | править код]

  1. Ivanov, Nikolai (1984). «Algebraic properties of the Teichmüller modular group». Dokl. Akad. Nauk SSSR 275: 786–789.
  2. McCarthy, Jenny (1985). «A "Tits-alternative" for subgroups of surface mapping class groups». Trans. Amer. Math. Soc. 291: 583–612. DOI:10.1090/s0002-9947-1985-0800253-8.
  3. Bestvina, Mladen (2000). «The Tits alternative for Out(Fn) I: Dynamics of exponentially-growing automorphisms». Annals of Mathematics 151 (2): 517–623. arXiv:math/9712217. DOI:10.2307/121043.

Ссылки[править | править код]