Альтернатива Жиса — Маргулиса

Альтернатива Жиса — Маргулиса — теорема о строении подгрупп группы гомеоморфизмов окружности, являющаяся аналогом альтернативы Титса.

Введение

В 1987 году Этьен Жис и Влад Сержиеску показали, что группа гомеоморфизмов окружности ${\rm {Homeo}}(S^{1})$ не удовлетворяет альтернативе Титса. А именно, группа Томпсона $F$, которая вкладывается в группу ${\rm {Homeo}}(S^{1})$, не содержит ни разрешимых подгрупп конечного индекса, ни неабелевых свободных подгруппы.

В своём докладе на симпозиуме по динамическим системам, проходившем в Париже в июне 1998 года, Этьен Жис высказал предположение о том, что, тем не менее, в этом случае верен определённый аналог альтернативы Титса, который ему удалось доказать в аналитическом случае. В общем случае его гипотеза была доказана в 2000 году Григорием Александровичем Маргулисом.

Формулировка

Для любой подгруппы $G\leqslant {\rm {Homeo}}(S^{1})$ выполняется хотя бы одно из следующих условий:

• на окружности $S^{1}$ существует борелевская вероятностная мера, инвариантная относительно действия группы $G$;
• группа $G$ содержит свободную подгруппу ранга два.

Во втором случае группа $G$ также содержит свободные подгруппы всех конечных и счётного рангов, поскольку свободная группа ранга два содержит их.

Примеры

Если все элементы группы $G$ являются изометриями (например, поворотами или отражениями), то мера Лебега на окружности $S^{1}$ инвариантна относительно действия группы $G$.

Если действие группы $G$ на окружности $S^{1}$ имеет хотя бы одну конечную орбиту, то среднее дельта-мер Дирака, соответствующих точкам этой орбиты, является вероятностной мерой, инвариантной относительно $G$.

Для группы Томпсона $T$ реализуется второе условие — она содержит неабелеву свободную подгруппу. Это связано с тем, что её действие на окружности минимально (см. далее).

Следствия

Примечательным следствием альтернативы Жиса — Маргулиса является следующая теорема о структуре минимальных действий групп на окружности.

Для любой подгруппы $G\leqslant {\rm {Homeo}}(S^{1})$, действующей на окружности $S^{1}$ минимально, выполняется в точности одно из следующих условий:

• группа $G$ содержит абелеву подгруппу индекса не более два и действие $G$ на $S^{1}$ сопряжено действию изометриями, а точнее, существует такой сохраняющий ориентацию автогомеоморфизм $\varphi \colon S^{1}\to S^{1}$, что $\varphi G\varphi ^{-1}\leqslant {\rm {Isom}}(S^{1})$;
• группа $G$ содержит свободную подгруппу ранга два.

В случае, если все гомеоморфизмы из $G$ сохраняют ориентацию, то есть $G\leqslant {\rm {Homeo}}_{+}(S^{1})$, в первом условии можно заменить ${\rm {Isom}}(S^{1})$ на группу вращений ${\rm {Isom}}_{+}(S^{1})\cong {\rm {SO}}_{2}(\mathbb {R} )$ и, тем самым, в этом случае группа $G$ сама абелева.

Указанная теорема следующим образом выводится из альтернативы Жиса — Маргулиса. В силу минимальности носитель вероятностной меры, инвариантной относительно данного действия группы, совпадает со всей окружностью. Любая борелевская вероятностная мера на окружности $S^{1}$, носитель которой совпадает со всей окружностью, может быть переведена некоторым сохраняющим ориентацию автогомеоморфизмом в меру Леберга. Тем самым, действие, полученное сопряжением таким автогомеоморфизмом окружности, сохраняет меру Лебега, то есть является действием изометриями.

Доказательство

В своём доказательстве альтернативы Маргулис сначала устанавливает истинность указанного выше следствия, а затем выводит из него общий случай с помощью определённого рассуждения, принадлежащего Стивену Хёрдеру.

Доказательство частного случая альтернативы, соответствующего следствию, состоит в следующем.

Если действие группы $G$ на окружности $S^{1}$ равномерно непрерывно, то замыкание группы $G$ в пространстве ${\rm {Homeo}}(S^{1})$, рассматриваемом с компактно-открытой топологией, компактно. В этом случае искомая инвариантная мера на окружности может быть получена усреднением (вероятностной) меры Хаара на этом замыкании.

Если минимальное действие $G$ на окружности $S^{1}$ не является равномерно непрерывным, то оказывается, что оно является проксимальным, то есть для любых двух точек $x,y\in S^{1}$ существует такая бесконечная последовательность $\{g_{i}\}$ элементов из $G$, что

$\lim _{i\to \infty }g_{i}(x)=\lim _{i\to \infty }g_{i}(y)$.

Далее устанавливается, что к группе, действующей минимально и проксимально на окружности, применима лемма о пинг-понге, откуда следует, что она содержит свободную подгруппу ранга два.

Литература

• Ghys, É. Groups acting on the circle (англ.). — L'Enseignement mathématique, 2001. — Vol. 47. — P. 329–407.

Ссылки

• Ghys, É, Sergiescu, V. Sur un groupe remarquable de difféomorphismes du cercle (фр.). — Commentarii Mathematici Helvetici, 1987. — Vol. 62. — P. 185–239.
• Margulis, G. Free subgroups of the homeomorphism group of the circle (англ.) // Comptes Rendus de l'Académie des Sciences - Series I - Mathematics. — 2000. — Vol. 331, iss. 9. — P. 669–674. — doi:10.1016/S0764-4442(00)01694-3.