Броуновский мост

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Броуновский мост — это частный случай случайного блуждания с непрерывным временем (винеровского процесса) , когда начальная и конечная точки совпадают: . Стандартный винеровский процесс "привязан" в начальной точке , но имеет свободный конец. Броуновский мост зафиксирован и в начале , и в конце .

Свойства[править | править вики-текст]

Броуновский мост имеет среднее и дисперсию , что подразумевает наибольшую неопределенность в середине моста и полную определенность на концах. Ковариация , где s < t. Приращения не являются независимыми.

Связь с другими случайными процессами[править | править вики-текст]

Если W(t) — стандартный винеровский процесс (т.е. для t ≥ 0, W(t) нормально распределено со средним 0 и дисперсией t, а приращения являются независимыми), то имеем броуновский мост


В свою очередь, если взять броуновский мост B(t) и стандартную нормально распределенную случайную величину Z, то процесс


будет винеровский процессом для t ∈ [0, 1]. В общем, при t ∈ [0, T] имеем

Броуновский мост является следствием англ. Donsker's theorem применительно к эмпирическим процессам (англ. empirical process). Также он используется в критерии согласия Колмогорова-Смирнова для статистического вывода.

Общий случай[править | править вики-текст]

В общем случае и . Тогда

при .

Замечание[править | править вики-текст]

Предположим, мы сгенерировали последовательность точек W(0), W(1), W(2), W(3) и т.д. винеровского процесса с помощью компьютерной симуляции. Если мы захотим вставить дополнительную точку на интервале [0,1], то мы должны использовать броуновский мост, проходящий через W(0) и W(1).

См. также[править | править вики-текст]