Критерий согласия Колмогорова

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Критерий согласия Колмогорова предназначен для проверки гипотезы о принадлежности выборки некоторому закону распределения, то есть проверки того, что эмпирическое распределение соответствует предполагаемой модели.

Критерий однородности Смирнова используется для проверки гипотезы о принадлежности двух независимых выборок одному закону распределения, то есть о том, что два эмпирических распределения соответствуют одному и тому же закону.

Эти критерии носят имена математиков Андрея Николаевича Колмогорова и Николая Васильевича Смирнова.

Критерий Смирнова о проверке гипотезы об однородности двух эмпирических законов распределения является одним из наиболее часто используемых непараметрических критериев.

Статистика критерия Колмогорова[править | править вики-текст]

Пусть эмпирическая функция распределения (ЭФР) случайной величины , построенная по выборке , имеет вид:

где указывает, попало ли наблюдение в область :

Статистика критерия для эмпирической функции распределения определяется следующим образом:

где  — точная верхняя грань множества , - предполагаемая модель.

Распределение статистики Колмогорова[править | править вики-текст]

Обозначим нулевую гипотезу , как гипотезу о том, что выборка подчиняется распределению . Тогда по теореме Колмогорова для введённой статистики справедливо:

Учтём, что критерий имеет правостороннюю критическую область.

Logo arte.jpg Принятие решения по критерию Колмогорова.
Если статистика превышает процентную точку распределения Колмогорова заданного уровня значимости , то нулевая гипотеза (о соответствии закону ) отвергается. Иначе гипотеза принимается на уровне .

Если достаточно близко к 1, то можно приблизительно рассчитать по формуле:

Асимптотическая мощность критерия равна 1.


Обозначим теперь за нулевую гипотезу гипотезу о том, что две исследуемые выборки подчиняются одному распределению случайной величины .

Logo arte.jpg Теорема Смирнова.
Пусть — эмпирические функции распределения, построенные по независимым выборкам объёмом и случайной величины . Тогда, если , то , где .

Теорема Смирнова позволяет построить критерий для проверки двух выборок на однородность.

Logo arte.jpg Принятие решения по критерию Смирнова.
Если статистика превышает квантиль распределения Колмогорова для заданного уровня значимости , то нулевая гипотеза (об однородности выборок) отвергается. Иначе гипотеза принимается на уровне .

См. также[править | править вики-текст]

Примечание 1[править | править вики-текст]

В критерии Колмогорова предпочтительней использование статистики с поправкой Большева в следующем виде . Распределение данной статистики уже не так сильно зависит от объема выборки. Зависимостью её распределения от объема выборки можно пренебречь при .

Примечание 2[править | править вики-текст]

Классический критерий Колмогорова предназначен для проверки простых гипотез. Если проверяется гипотеза о согласии наблюдаемой выборки с законом, все параметры которого известны, то критерий Колмогорова является свободным от распределения: неважно, с каким законом проверяется согласие. Если проверяемая гипотеза справедлива, предельным распределением статистики Колмогорова является распределение Колмогорова .

Всё меняется при проверке сложных гипотез, когда по анализируемой выборке оцениваются параметры теоретического закона, согласие с которым проверяется. При проверке сложных гипотез свобода от распределения теряется. При проверке сложных гипотез и справедливости проверяемой гипотезы распределения статистик непараметрических критериев согласия (и критерия Колмогорова) зависят от ряда факторов: от вида наблюдаемого закона, соответствующего проверяемой гипотезе; от типа оцениваемого параметра и числа оцениваемых параметров; в некоторых случаях от конкретного значения параметра (например, в случае семейств гамма- и бета-распределений); от метода оценивания параметров. Различия в предельных распределениях той же самой статистики при проверке простых и сложных гипотез настолько существенны, что пренебрегать этим ни в коем случае нельзя.

О применении критерия Колмогорова при проверке сложных гипотез[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]