Векторный потенциал

Эта статья — о математическом термине. О его применении в физике см. Векторный потенциал электромагнитного поля.

В векторном анализе ве́кторный потенциа́л — это векторное поле, ротор которого равен заданному векторному полю. Он аналогичен скалярному потенциалу, который определяется как скалярное поле, градиент которого равен заданному векторному полю.

Формально, если $\mathbf {v}$ — векторное поле, векторным потенциалом называется векторное поле $\mathbf {A}$ такое, что

$\mathbf {v} =\nabla \times \mathbf {A} .$

Если $\mathbf {A}$ является векторным потенциалом для поля $\mathbf {v}$, то из тождества

$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0$

(дивергенция ротора равна нулю) следует

$\nabla \cdot \mathbf {v} =\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0,$

то есть $\mathbf {v}$ должно быть соленоидальным векторным полем.

Для любого соленоидального векторного поля, удовлетворяющего определённым условиям, существует векторный потенциал. В частности, его существование зависит от области, на которой определено поле — в случае многосвязной области потенциал вихревого поля обычно не существует.

Теорема

Пусть

$\mathbf {v} :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$

— дважды непрерывно дифференцируемое соленоидальное векторное поле. Предположим, что $\mathbf {v} \left(\mathbf {x} \right)$ убывает достаточно быстро при $\|\mathbf {x} \|\rightarrow \infty$. Определим

$\mathbf {A} (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int \limits _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla _{y}\times \mathbf {v} (\mathbf {y} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|}}\,d\mathbf {y} .$

Тогда $\mathbf {A}$ является векторным потенциалом для $\mathbf {v}$, то есть

$\nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {v} .$

Обобщением этой теоремы является разложение Гельмгольца, согласно которому любое векторное поле может быть представлено как сумма соленоидального векторного поля и безвихревого векторного поля.

Неоднозначность выбора потенциала

Векторный потенциал соленоидального векторного поля определяется неоднозначно. Если $\mathbf {A}$ является векторным потенциалом для $\mathbf {v}$, также им является

$\mathbf {A} +\nabla m,$

где $m$ — любая непрерывно дифференцируемая скалярная функция. Это является следствием того факта, что ротор градиента равен нулю.

В электродинамике это даёт неоднозначность при определении потенциалов электромагнитного поля и решается наложением на потенциал дополнительного условия калибровки.

Векторный потенциал в физике

Основная статья: Векторный потенциал электромагнитного поля

Уравнения Максвелла

Одним из способов записи уравнений Максвелла является формулировка в терминах векторного и скалярного потенциалов. Векторный потенциал $\mathbf {A}$ вводится таким образом, что

$\mu _{0}\mathbf {H} =\mathbf {B} =\operatorname {rot} \mathbf {A}$ (в системе СИ).

При этом уравнение $\operatorname {div} \mathbf {B} =0$ удовлетворяется автоматически.

Подстановка выражения для $\mathbf {A}$ в

$\operatorname {rot} \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

приводит к уравнению

$\operatorname {rot} \left(\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)=0,$

согласно которому, так же как и в электростатике, вводится скалярный потенциал. Однако теперь в $\mathbf {E}$ вносят вклад и скалярный, и векторный потенциалы:

$\mathbf {E} =-\operatorname {grad} \;\varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}.$

Из уравнения $\operatorname {rot} \mathbf {H} =\mathbf {j} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$ следует

$\operatorname {rot} \;\operatorname {rot} \mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {j} +\varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(-\operatorname {grad} \;\varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right).$

Используя равенство $\operatorname {rot} \;\operatorname {rot} \mathbf {A} =\operatorname {grad} \;\operatorname {div} \mathbf {A} -\nabla ^{2}\mathbf {A}$, уравнения для векторного и скалярного потенциалов можно записать в виде

$\Delta \mathbf {A} -\operatorname {grad} \left(\operatorname {div} \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {j} ,$

$\Delta \varphi +{\frac {\partial }{\partial t}}\operatorname {div} \mathbf {A} =-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}.$

Физический смысл векторного потенциала

Подробнее см. Векторный потенциал электромагнитного поля § Физический смысл векторного потенциала

В классической электродинамике векторный потенциал достаточно часто трактовался как величина, не имеющая непосредственного физического смысла, формально вводимая лишь для удобства выкладок, хотя уже в структуре действия для классической электродинамики векторный потенциал входит таким прямым образом, что это наводит на мысль о его фундаментальном характере.

В квантовой теории это имеет прозрачный физический смысл прямого влияния векторного потенциала на фазу волновой функции движущейся в магнитном поле частицы. Более того, удалось поставить квантовые эксперименты, показавшие, что векторный потенциал доступен достаточно непосредственному в некотором смысле измерению (по крайней мере, речь идёт о том, что векторный потенциал может влиять наблюдаемым измеримым образом на квантовую частицу даже тогда, когда напряжённость магнитного поля в областях, доступных частице, всюду равна нулю, то есть магнитное поле не может оказывать воздействие на частицу через напряжённость, а лишь прямо — через векторный потенциал; см. Эффект Ааронова — Бома).

Подобно тому, как скалярный потенциал связан с понятием энергии, векторный потенциал обнаруживает тесную связь с понятием импульса. Так, в случае быстрого отключения магнитного поля частица, находившаяся в нём, получает дополнительный импульс qA.

См. также

• Скалярный потенциал
• Основная теорема векторного анализа
• Векторный потенциал электромагнитного поля
• Вектор Герца
• Калибровка векторного потенциала