Соленоидальное векторное поле

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Определение[править | править код]

Векторное поле называется соленоидальным, или трубчатым[1], если его поток через любую замкнутую ориентируемую (то есть двустороннюю) поверхность S равен нулю:

,

где — непрерывное поле единичных векторов нормали. В силу формулы Кельвина — Стокса, соленоидально всякое поле, являющееся ротором (вихрем) некоторого другого поля , то есть . При этом векторное поле называют векторным потенциалом поля [2].

Если поток поля через любую замкнутую поверхность S, составляющую полную границу некоторого тела в заданной области, равен нулю, то, в силу теоремы Гаусса — Остроградского, равна нулю дивергенция векторного поля :

всюду в этой области (подразумевается, что дивергенция всюду в этой области существует), то есть соленоидальное поле бездивергентно.

Обратное не всегда верно. Если область содержит пустоты (полости), то бездивергентное поле может не быть соленоидальным. Примером может служить поле в области , являющееся градиентом ньютоновского потенциала . Таковы гравитационное поле, вызванное точечной массой в начале координат (тогда , где гравитационная постоянная), а также поле точечного электрического заряда. Ньютоновское поле не соленоидально, так как его поток через сферу , равный , отличен от нуля. В то же время, (единственный источник поля не находится в области).

Иначе говоря, если поле является вихревым (соленоидальным), то оно не имеет источников. Силовые линии такого поля не имеют ни начала, ни конца и являются замкнутыми. Вихревое поле порождается не покоящимися зарядами (источниками), а изменением другого связанного с ним поля (например, для электрического поля порождается изменением магнитного). Поскольку в природе не существует магнитных зарядов, магнитное поле всегда является вихревым, и его силовые линии всегда замкнуты. Силовые линии постоянного магнита хотя и выходят из его полюсов (словно имеют источники внутри), на самом деле замыкаются внутри магнита. Поэтому, разрезав магнит надвое, не удастся получить два отдельных магнитных полюса.

Примеры[править | править код]

Этимология[править | править код]

Слово соленоидальный происходит от греческого соленоид (σωληνοειδές), означающее «трубообразно» или «как в трубе», содержащего слово σωλην - труба. В данном контексте это означает фиксацию объема для модели текущей жидкости, отсутствие источников и стоков (как при течении в трубе, где новая жидкость не появляется и не пропадает).[источник не указан 1993 дня]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. А. М. Анчиков. Основы векторного и тензорного анализа / под ред. проф. В. Г. Кайгородова. — 420008, Казань, ул. Ленина, 18: Издательство Казанского университета, 1988. — С. 27. — 130 с.
  2. А.Н. Канатников. Курс лекций. МГТУ им. Н.Э.Баумана. Дата обращения: 8 января 2019.