Теорема разложения Гельмгольца

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема разложения Гельмгольца — утверждение о разложении произвольного дифференцируемого векторного поля на две компоненты:

Если дивергенция и ротор векторного поля определены в каждой точке конечной открытой области V пространства, то всюду в V функция может быть представлена в виде суммы безвихревого поля и соленоидального поля :

где

для всех точек области V.


В более популярной формулировке для всего пространства теорема Гельмгольца гласит:

Любое векторное поле , однозначное, непрерывное и ограниченное во всем пространстве, может быть разложено на сумму потенциального и соленоидального векторных полей и представлено в виде:

где


Скалярная функция называется скалярным потенциалом, векторная функция называется векторным потенциалом.[1].

Формулировка теоремы[править | править вики-текст]

Пусть F — векторное поле в R³, и пусть оно дважды непрерывно дифференцируемо и убывает быстрее чем 1/r на бесконечности в случае неограниченной области.[2] Тогда поле F представимо в виде суммы безвихревого поля (ротор которого равен нулю) и соленоидального поля (дивергенция которого равна нулю).

Одно из возможных представлений для векторного поля F в такой форме имеет вид суммы градиента и ротора двух явно вычислимых функций, как написано ниже:

где  — это оператор ньютониан (если он действует на векторное поле вроде ∇ × F, он действует на каждую его компоненту).


Если F имеет нулевую дивергенцию, ∇·F = 0, то F называется соленоидальным или бездивергентным, и разложение Гельмгольца поля F сокращается до

В случае такого представлении поля A называется векторным потенциалом поля F. Для соленоидального поля (то есть поля с нулевой дивергенцией) всегда можно построить вектор-функцию (векторный потенциал), ротором которого данное поле является. Векторный потенциал для заданного соленоидального поля определяется со значительной степенью свободы. В частности, без ограничения общности на него можно наложить условие кулоновской калибровки (или нормировки) ∇·A = 0 (частный случай бездивергентного векторного потенциала, см. также ниже задачу о восстановлении вектор-функции по ротору и дивергенции). К векторному потенциалу можно свободно добавить градиент любой скалярной функции — от этого его ротор, то есть определяемое им соленоидальное поле, не меняется (а если указанная скалярная функция удовлетворяет уравнению Лапласа, то не меняется также и условие кулоновской калибровки, когда векторный потенциал ему удовлетворяет).


В случае, если F имеет нулевой ротор, ∇×F = 0, то F называется безвихревым или локально потенциальным полем, а разложение F принимает вид

В случае такого представления поля φ называется скалярным потенциалом поля F. Для безвихревого поля (то есть поля с нулевым ротором) всегда можно построить скалярную функцию (скалярный потенциал), градиентом которого данное поле является. Скалярный потенциал для заданного безвихревого поля определяется с точностью до аддитивной константы.

В общем случае F представимо суммой

,

где отрицательный градиент скалярного потенциала — безвихревая компонента поля, а ротор векторного потенциала — соленоидальная. Представление F в виде суммы безвихревого поля и соленоидального поля не является единственным, поскольку к φ всегда можно прибавить произвольную функцию ψ, удовлетворяющую уравнению Лапласа, а к A — согласованную с ψ вектор-функцию H, являющуюся результатом решения задачи о восстановлении вектор-функции по ротору и дивергенции (см. ниже) в соответствии с уравнениями ∇·H = 0, ∇×H = ∇ψ. Такая подстановка не только меняет скалярный и векторный потенциалы, участвующие в разложении Гельмгольца, но и существенным образом меняет безвихревое поле -∇(φ+ψ) и соленоидальное поле ∇×(A+H), на сумму которых распадается поле F.

Поля, определенные ротором и дивергенцией[править | править вики-текст]

С теоремой Гельмгольца тесно связана задача о восстановлении векторного поля по дивергенции и ротору, которую иногда называют задачей Гельмгольца.

Пусть дано скалярное поле      и векторное поле   ,   которые достаточно гладки и либо заданы в ограниченной области, либо убывают быстрее 1/r² на бесконечности. Требуется найти такое векторное поле   ,   что

     и     

При анализе существования и единственности решения задачи следует различать:

  1. внутреннюю задачу (ротор, дивергенция и сама вектор-функция рассматриваются внутри ограниченной области, имеющей достаточно гладкую границу),
  2. внешнюю задачу (ротор, дивергенция и сама вектор-функция рассматриваются для пространства R³ с вырезанной «дыркой», имеющей достаточно гладкую границу),
  3. задачу для всего пространства R³.

Внутренняя задача (при условии её разрешимости) имеет однозначное решение, если вдоль границы области задана нормальная проекция       для вектор-функции .

Внешняя задача (при условии её разрешимости) имеет однозначное решение, если вдоль границы области задана нормальная проекция       для вектор-функции , и на вектор-функцию наложено требование, что она убывает на бесконечности по крайней мере как   .

Задача для всего пространства R³ (при условии её разрешимости) имеет однозначное решение, если на вектор-функцию наложено требование, что она убывает на бесконечности по крайней мере как   .

Во всех этих случаях решение задачи Гельмгольца единственно, если оно существует при заданных входных данных.

Необходимые условия существования решения[править | править вики-текст]

Задача имеет решение не при всех   ,      и     :

  1. Из тождества      следует, что должно быть выполнено условие   ,   то есть дивергенция вектора      обязана быть равной нулю.
  2. Для внутренней задачи из тождества      следует, что   ,   то есть интеграл от краевого условия      по ограничивающей поверхности      должен быть равен интегралу от функции      по объему области.
  3. Для внешней задачи и для задачи, заданной для всего пространства R³, функции       и        должны достаточно быстро стремиться к нулю на бесконечности вместе с самой функцией.

Достаточные условия существования и единственности решения[править | править вики-текст]

A. Внутренняя задача: если

  1.    и  
  2. ,  
то решение задачи восстановления поля      по ротору   ,   дивергенции      и граничному условию      существует и единственно.

Б. Внешняя задача: если

  1.    и  
  2. интегралы    и      сходятся при интегрировании по бесконечному объему и убывают на бесконечности при      по крайней мере как   ,  
то решение задачи восстановления поля      по ротору   ,   дивергенции   ,   граничному условию      и условию, что      спадает на бесконечности по крайней мере как   ,   существует и единственно.

В. Задача для всего пространства R³: если

  1.    и  
  2. интегралы    и      сходятся при интегрировании по бесконечному объему и убывают на бесконечности при      по крайней мере как   ,  
то решение задачи восстановления поля      по ротору   ,   дивергенции      и условию, что      спадает на бесконечности по крайней мере как   ,   существует и единственно.

Разрешимость и однозначность решения задачи Гельмгольца тесно связана с разрешимостью и однозначностью решения задачи Неймана для уравнения Лапласа в той же самой области (см. далее алгоритм конструирования решения задачи Гельмгольца).

Разложение векторного поля на сумму безвихревого поля и соленоидального поля[править | править вики-текст]

С помощью задачи о восстановлении вектор-функции по ротору и дивергенции, разложение векторного поля на сумму безвихревого поля и соленоидального поля может быть выполнено следующим образом:

  1. Для заданной вектор-функции вычисляются: функция функция , краевое условие , если вектор-функция задана для подобласти пространства с границей .
  2. Когда речь идёт о внутренней задаче, то из тождества , следует условие совместности . Поэтому все условия совместности входных данных для задачи и с краевым условием выполнены, задача разрешима и имеет единственное решение. Полученная вектор-функция является безвихревым полем.
  3. Поскольку , условия совместности входных данных для задачи и с нулевым краевым условием выполнены, задача разрешима и имеет единственное решение. Полученная вектор-функция является соленоидальным полем.
  4. Рассмотрим задачу , с краевым условием . Условия совместности входных данных выполнены, задача разрешима и имеет единственное решение. При этом с одной стороны, решением данной задачи является сама функция , а с другой стороны, решением этой же задачи является функция . Значит, , искомое представление поля как суммы безвихревого поля и соленоидального поля построено.

Построенное представление векторного поля в виде суммы двух полей не является единственным. Существуют векторные поля, которые одновременно являются и безвихревыми (ротор равен нулю), и соленоидальными (дивергенция равна нулю). Эти поля — градиенты скалярных функций, удовлетворяющих уравнению Лапласа (и только они). Прибавляя любое такое поле к первому слагаемому и вычитая его из второго слагаемого, получим новое разбиение векторного поля на сумму безвихревого и соленоидального поля.

Восстановление вектор-функции по ротору и дивергенции[править | править вики-текст]

Решение задачи о восстановлении функции по ротору, дивергенции и краевому условию может быть построено следующим образом:

1) Для заданной функции      вычисляется функция   ,   где скалярный потенциал      вычисляется по формуле
  .  
В результате получается функция   ,   у которой      и   ;  
2) Для заданной функции      вычисляется функция   ,   где векторный потенциал      вычисляется по формуле
  .  
В результате получается функция   ,   у которой      и   ;  
3) Ищется функция   ,   у которой   ,     ,   а нормальная проекция на границе области      выбрана таким образом, чтобы      удовлетворяла граничному условию   .  
Чтобы найти такую функцию   ,   делается подстановка   ,   где скалярный потенциал      должен удовлетворять уравнению Лапласа   .   Для функции      получается краевое условие Неймана   ,    причем легко проверить, что критерий разрешимости задачи Неймана будет выполнен. Поэтому функция      всегда существует, определяется единственным образом для внешней задачи, и с точностью до аддитивной константы для внутренней задачи. В результате нужная нам функция      всегда существует и единственна.


Функция      является решением для поставленной задачи, причём единственным. Если граничное условие не задано, решением задачи являются все возможные функции вида   ,   где   ,   есть градиент любой функции, удовлетворяющей уравнению Лапласа. Если задача ставится во всём пространстве R³, решением (единственным) будет функция   ,   обладающая нужным поведением на бесконечности.

Альтернативная формулировка теоремы Гельмгольца[править | править вики-текст]

В результате теорема Гельмгольца может быть переформулирована в следующих терминах. Пусть C — соленоидальное векторное поле (div C=0), а d — скалярное поле в R³, которые достаточно гладки и либо заданы в ограниченной области, либо убывают быстрее 1/r² на бесконечности. Тогда существует векторное поле F такое, что

   и   

Если к тому же векторное поле F рассматривается во всем пространстве R³ и исчезает при r → ∞, тогда F единственно.[2] В общем же случае решение определяется с точностью до аддитивной добавки — градиента произвольной функции, удовлетворяющей уравнению Лапласа.

Другими словами, при определенных условиях векторное поле может быть построено по его ротору и дивергенции, причем когда задача определена во всем пространстве R³, решение однозначно (при априорном предположении, что поле исчезает на бесконечности достаточно быстро). Эта теорема имеет огромное значение в электростатике, например уравнения Максвелла в статическом случае описывают поля как раз этого типа.[2] Как уже было написано выше, одно из возможных решений:

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Ли, 1965, с. 50.
  2. 1 2 3 David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Prentice-Hall, 1989, p. 56.

Литература[править | править вики-текст]