Теорема разложения Гельмгольца

Теорема разложения Гельмгольца — утверждение о разложении произвольного дифференцируемого векторного поля на две компоненты:

Если дивергенция и ротор векторного поля $\mathbf {F} (\mathbf {r} )$ определены в каждой точке конечной открытой области V пространства, то всюду в V функция может быть представлена в виде суммы безвихревого поля $\mathbf {F} _{1}(\mathbf {r} )$ и соленоидального поля $\mathbf {F} _{2}(\mathbf {r} )$: $\mathbf {F} (\mathbf {r} )=\mathbf {F} _{1}(\mathbf {r} )+\mathbf {F} _{2}(\mathbf {r} ),$ где $\operatorname {rot} \;\mathbf {F} _{1}(\mathbf {r} )=0,$ $\operatorname {div} \,\mathbf {F} _{2}(\mathbf {r} )=0$ для всех точек $\mathbf {r}$ области V.

В более популярной формулировке для всего пространства теорема Гельмгольца гласит:

Любое векторное поле $\mathbf {F}$, однозначное, непрерывное и ограниченное во всем пространстве, может быть разложено на сумму потенциального и соленоидального векторных полей и представлено в виде: $\mathbf {F} =-\nabla \Phi +\nabla \times \mathbf {A}$

Скалярная функция $\Phi$ называется скалярным потенциалом, векторная функция $\mathbf {A}$ называется векторным потенциалом..

Формулировка теоремы

Пусть F — векторное поле в R³, и пусть оно дважды непрерывно дифференцируемо и убывает на бесконечности быстрее, чем 1/r, в случае неограниченной области. Тогда поле F представимо в виде суммы безвихревого поля (ротор которого равен нулю) и соленоидального поля (дивергенция которого равна нулю).

Одно из возможных представлений для векторного поля F в такой форме имеет вид суммы градиента и ротора двух явно вычислимых функций, как написано ниже:

$\mathbf {F} =-\nabla \,({\mathcal {G}}(\nabla \cdot \mathbf {F} ))+\nabla \times ({\mathcal {G}}(\nabla \times \mathbf {F} )),$

где ${\mathcal {G}}$ — это оператор ньютониан (если он действует на векторное поле вроде ∇ × F, он действует на каждую его компоненту).

Если F имеет нулевую дивергенцию, ∇·F = 0, то F называется соленоидальным, или бездивергентным, и разложение Гельмгольца поля F сокращается до

$\mathbf {F} =\nabla \times {\mathcal {G}}(\nabla \times \mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {A} .$

В случае такого представлении поля A называется векторным потенциалом поля F. Для соленоидального поля (то есть поля с нулевой дивергенцией) всегда можно построить вектор-функцию (векторный потенциал), ротором которого данное поле является. Векторный потенциал для заданного соленоидального поля определяется со значительной степенью свободы. В частности, без ограничения общности на него можно наложить условие кулоновской калибровки (или нормировки) ∇·A = 0 (частный случай бездивергентного векторного потенциала, см. также ниже задачу о восстановлении вектор-функции по ротору и дивергенции). К векторному потенциалу можно свободно добавить градиент любой скалярной функции — от этого его ротор, то есть определяемое им соленоидальное поле, не меняется (а если указанная скалярная функция удовлетворяет уравнению Лапласа, то не меняется также и условие кулоновской калибровки, когда векторный потенциал ему удовлетворяет).

В случае, если F имеет нулевой ротор, ∇×F = 0, то F называется безвихревым или локально потенциальным полем, а разложение F принимает вид

$\mathbf {F} =-\nabla \,{\mathcal {G}}(\nabla \cdot \mathbf {F} )=-\nabla \phi .$

В случае такого представления поля φ называется скалярным потенциалом поля F. Для безвихревого поля (то есть поля с нулевым ротором) всегда можно построить скалярную функцию (скалярный потенциал), градиентом которого данное поле является. Скалярный потенциал для заданного безвихревого поля определяется с точностью до аддитивной константы.

В общем случае F представимо суммой

$\mathbf {F} =-\nabla \phi +\nabla \times \mathbf {A}$,

где отрицательный градиент скалярного потенциала — безвихревая компонента поля, а ротор векторного потенциала — соленоидальная. Представление F в виде суммы безвихревого поля и соленоидального поля не является единственным, поскольку к φ всегда можно прибавить произвольную функцию ψ, удовлетворяющую уравнению Лапласа, а к A — согласованную с ψ вектор-функцию H, являющуюся результатом решения задачи о восстановлении вектор-функции по ротору и дивергенции (см. ниже) в соответствии с уравнениями ∇·H = 0, ∇×H = ∇ψ. Такая подстановка не только меняет скалярный и векторный потенциалы, участвующие в разложении Гельмгольца, но и существенным образом меняет безвихревое поле -∇(φ+ψ) и соленоидальное поле ∇×(A+H), на сумму которых распадается поле F.

Поля, определенные ротором и дивергенцией

С теоремой Гельмгольца тесно связана задача о восстановлении векторного поля по дивергенции и ротору, которую иногда называют задачей Гельмгольца.

Пусть дано скалярное поле   $\mathbf {d} (x,y,z)$   и векторное поле   $\mathbf {C} (x,y,z)$,   которые достаточно гладки и либо заданы в ограниченной области, либо убывают быстрее 1/r² на бесконечности. Требуется найти такое векторное поле   $\mathbf {F} (x,y,z)$,   что

$\nabla \cdot \mathbf {F} =\mathbf {d}$      и      $\nabla \times \mathbf {F} =\mathbf {C} .$

При анализе существования и единственности решения задачи следует различать:

1. внутреннюю задачу (ротор, дивергенция и сама вектор-функция рассматриваются внутри ограниченной области, имеющей достаточно гладкую границу),
2. внешнюю задачу (ротор, дивергенция и сама вектор-функция рассматриваются для пространства R³ с вырезанной «дыркой», имеющей достаточно гладкую границу),
3. задачу для всего пространства R³.

Внутренняя задача (при условии её разрешимости) имеет однозначное решение, если вдоль границы области задана нормальная проекция    $(\mathbf {n} \cdot \mathbf {F} )|_{S}=\mathbf {g} (\mathbf {S} )$   для вектор-функции $\mathbf {F}$.

Внешняя задача (при условии её разрешимости) имеет однозначное решение, если вдоль границы области задана нормальная проекция    $(\mathbf {n} \cdot \mathbf {F} )|_{S}=\mathbf {g} (\mathbf {S} )$   для вектор-функции $\mathbf {F}$, и на вектор-функцию $\mathbf {F}$ наложено требование, что она убывает на бесконечности по крайней мере как   $\mathbf {1/r} ^{2+\varepsilon }$.

Задача для всего пространства R³ (при условии её разрешимости) имеет однозначное решение, если на вектор-функцию $\mathbf {F}$ наложено требование, что она убывает на бесконечности по крайней мере как   $\mathbf {1/r} ^{2+\varepsilon }$.

Во всех этих случаях решение задачи Гельмгольца единственно, если оно существует при заданных входных данных.

Необходимые условия существования решения

Задача имеет решение не при всех   $\mathbf {d} (x,y,z)$,   $\mathbf {C} (x,y,z)$   и   $\mathbf {g(S)}$  :

1. Из тождества   $\nabla \cdot \nabla \times \mathbf {F} \equiv 0$   следует, что должно быть выполнено условие   $\nabla \cdot \mathbf {C} =0$,   то есть дивергенция вектора   $\mathbf {C} (x,y,z)$   обязана быть равной нулю.
2. Для внутренней задачи из тождества   $\iiint _{V}(\nabla \cdot \mathbf {F} )\,dV=\iint _{S}(\mathbf {n} \cdot \mathbf {F} )\,dS$   следует, что   $\iiint _{V}\mathbf {d(x,y,z)} \,dV=\iint _{S}\mathbf {g(S)} \,dS$,   то есть интеграл от краевого условия   $\mathbf {g(S)}$   по ограничивающей поверхности   $\mathbf {S}$   должен быть равен интегралу от функции   $\mathbf {d} (x,y,z)$   по объему области.
3. Для внешней задачи и для задачи, заданной для всего пространства R³, функции   $\mathbf {d}$    и     $\mathbf {C}$   должны достаточно быстро стремиться к нулю на бесконечности вместе с самой функцией.

Достаточные условия существования и единственности решения

A. Внутренняя задача: если

1. $\nabla \cdot \mathbf {C(x,y,z)} =0$   и  
2. $\iiint _{V}\mathbf {d(x,y,z)} \,dV=\iint _{S}\mathbf {g(S)} \,dS$,  

то решение задачи восстановления поля   $\mathbf {F} (x,y,z)$   по ротору   $\mathbf {C} (x,y,z)$,   дивергенции   $\mathbf {d} (x,y,z)$   и граничному условию   $\mathbf {g(S)}$   существует и единственно.

Б. Внешняя задача: если

1. $\nabla \cdot \mathbf {C(x,y,z)} =0$   и  
2. интегралы $\iiint _{V}{\frac {\mathbf {d} (x',y',z')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}\,dV'$   и   $\iiint _{V}{\frac {\mathbf {C} (x',y',z')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}\,dV'$   сходятся при интегрировании по бесконечному объему и убывают на бесконечности при   $\mathbf {r} \to \infty$   по крайней мере как   $\mathbf {1/r} ^{1+\varepsilon }$,  

то решение задачи восстановления поля   $\mathbf {F} (x,y,z)$   по ротору   $\mathbf {C} (x,y,z)$,   дивергенции   $\mathbf {d} (x,y,z)$,   граничному условию   $\mathbf {g(S)}$   и условию, что   $\mathbf {F} (x,y,z)$   спадает на бесконечности по крайней мере как   $\mathbf {1/r} ^{2+\varepsilon }$,   существует и единственно.

В. Задача для всего пространства R³: если

1. $\nabla \cdot \mathbf {C(x,y,z)} =0$   и  
2. интегралы $\iiint _{V}{\frac {\mathbf {d} (x',y',z')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}\,dV'$   и   $\iiint _{V}{\frac {\mathbf {C} (x',y',z')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}\,dV'$   сходятся при интегрировании по бесконечному объему и убывают на бесконечности при   $\mathbf {r} \to \infty$   по крайней мере как   $\mathbf {1/r} ^{1+\varepsilon }$,  

то решение задачи восстановления поля   $\mathbf {F} (x,y,z)$   по ротору   $\mathbf {C} (x,y,z)$,   дивергенции   $\mathbf {d} (x,y,z)$   и условию, что   $\mathbf {F} (x,y,z)$   спадает на бесконечности по крайней мере как   $\mathbf {1/r} ^{2+\varepsilon }$,   существует и единственно.

Разрешимость и однозначность решения задачи Гельмгольца тесно связана с разрешимостью и однозначностью решения задачи Неймана для уравнения Лапласа в той же самой области (см. далее алгоритм конструирования решения задачи Гельмгольца).

Разложение векторного поля на сумму безвихревого поля и соленоидального поля

С помощью задачи о восстановлении вектор-функции по ротору и дивергенции разложение векторного поля $\mathbf {F} (x,y,z)$ на сумму безвихревого поля и соленоидального поля может быть выполнено следующим образом:

1. Для заданной вектор-функции $\mathbf {F}$ вычисляются: функция $\mathbf {C} =\nabla \times \mathbf {F}$ функция $\mathbf {d} =\nabla \cdot \mathbf {F}$, краевое условие $\mathbf {g} (\mathbf {S} )=(\mathbf {n} \cdot \mathbf {F} )|_{S}$, если вектор-функция $\mathbf {F}$ задана для подобласти пространства $\mathbb {R} ^{3}$ с границей $S$.
2. Когда речь идёт о внутренней задаче, то из тождества $\iiint _{V}(\nabla \cdot \mathbf {F} )\,dV\equiv \iint _{S}(\mathbf {n} \cdot \mathbf {F} )\,dS$, следует условие совместности $\iiint _{V}\mathbf {d} (x,y,z)\,dV=\iint _{S}\mathbf {g(S)} \,dS$. Поэтому все условия совместности входных данных для задачи $\nabla \cdot \mathbf {F_{1}} =\mathbf {d}$ и $\nabla \times \mathbf {F_{1}} =0$ с краевым условием $\mathbf {g} (\mathbf {S} )$ выполнены, задача разрешима и имеет единственное решение. Полученная вектор-функция $\mathbf {F_{1}}$ является безвихревым полем.
3. Поскольку $\nabla \cdot \mathbf {C} =\nabla \cdot \nabla \times \mathbf {F} \equiv 0$, условия совместности входных данных для задачи $\nabla \cdot \mathbf {F} _{2}=0$ и $\nabla \times \mathbf {F} _{2}=\mathbf {C}$ с нулевым краевым условием выполнены, задача разрешима и имеет единственное решение. Полученная вектор-функция $\mathbf {F_{2}}$ является соленоидальным полем.
4. Рассмотрим задачу $\nabla \cdot \mathbf {F} _{3}=\mathbf {d}$, $\nabla \times \mathbf {F} _{3}=\mathbf {C}$ с краевым условием $\mathbf {g} (\mathbf {S} )$. Условия совместности входных данных выполнены, задача разрешима и имеет единственное решение. При этом с одной стороны, решением данной задачи является сама функция $\mathbf {F}$, а с другой стороны, решением этой же задачи является функция $\mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}$. Значит, $\mathbf {F} \equiv \mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}$, искомое представление поля $\mathbf {F}$ как суммы безвихревого поля и соленоидального поля построено.

Построенное представление векторного поля в виде суммы двух полей не является единственным. Существуют векторные поля, которые одновременно являются и безвихревыми (ротор равен нулю), и соленоидальными (дивергенция равна нулю). Эти поля — градиенты скалярных функций, удовлетворяющих уравнению Лапласа (и только они). Прибавляя любое такое поле к первому слагаемому и вычитая его из второго слагаемого, получим новое разбиение векторного поля на сумму безвихревого и соленоидального поля.

Восстановление вектор-функции по ротору и дивергенции

Решение задачи о восстановлении функции по ротору, дивергенции и краевому условию может быть построено следующим образом:

1) Для заданной функции   $\mathbf {d} (x,y,z)$   вычисляется функция   $\mathbf {F_{1}} (x,y,z)=\nabla \mathbf {U}$,   где скалярный потенциал   $\mathbf {U} (x,y,z)$   вычисляется по формуле

  $\mathbf {U} (x,y,z)=-{\frac {1}{4\pi }}\iiint _{V}{\frac {\mathbf {d} (x',y',z')}{\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}}}dx'dy'dz'$.  

В результате получается функция   $\mathbf {F_{1}} (x,y,z)$,   у которой   $\nabla \cdot \mathbf {F_{1}} (x,y,z)=\mathbf {d} (x,y,z)$   и   $\nabla \times \mathbf {F_{1}} (x,y,z)=0$;  

2) Для заданной функции   $\mathbf {C} (x,y,z)$   вычисляется функция   $\mathbf {F_{2}} (x,y,z)=\nabla \times \mathbf {A}$,   где векторный потенциал   $\mathbf {A} (x,y,z)$   вычисляется по формуле

  $\mathbf {A} (x,y,z)=+{\frac {1}{4\pi }}\iiint _{V}{\frac {\mathbf {C} (x',y',z')}{\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}}}dx'dy'dz'$.  

В результате получается функция   $\mathbf {F_{2}} (x,y,z)$,   у которой   $\nabla \cdot \mathbf {F_{2}} (x,y,z)=0$   и   $\nabla \times \mathbf {F_{2}} (x,y,z)=\mathbf {C} (x,y,z)$;  

3) Ищется функция   $\mathbf {F_{3}} (x,y,z)$,   у которой   $\nabla \cdot \mathbf {F_{3}} (x,y,z)=0$,     $\nabla \times \mathbf {F_{3}} (x,y,z)=0$,   а нормальная проекция на границе области   $(\mathbf {n} \cdot \mathbf {F_{3}} )|_{S}$   выбрана таким образом, чтобы   $\mathbf {F} =\mathbf {F_{1}} +\mathbf {F_{2}} +\mathbf {F_{3}}$   удовлетворяла граничному условию   $(\mathbf {n} \cdot \mathbf {F} )|_{S}=\mathbf {g} (\mathbf {S} )$.  

Чтобы найти такую функцию   $\mathbf {F_{3}} (x,y,z)$,   делается подстановка   $\mathbf {F_{3}} (x,y,z)=\nabla \mathbf {H}$,   где скалярный потенциал   $\mathbf {H} (x,y,z)$   должен удовлетворять уравнению Лапласа   $\Delta \mathbf {H} =0$.   Для функции   $\mathbf {H} (x,y,z)$   получается краевое условие Неймана   $\left.{\frac {\partial \mathbf {H} }{\partial \mathbf {n} }}\right|_{S}=\mathbf {g(S)} -(\mathbf {n} \cdot (\mathbf {F_{1}+F_{2}} ))$,    причем легко проверить, что критерий разрешимости задачи Неймана будет выполнен. Поэтому функция   $\mathbf {H} (x,y,z)$   всегда существует, определяется единственным образом для внешней задачи, и с точностью до аддитивной константы для внутренней задачи. В результате нужная нам функция   $\mathbf {F_{3}} (x,y,z)$   всегда существует и единственна.

Функция   $\mathbf {F} (x,y,z)=\mathbf {F_{1}} (x,y,z)+\mathbf {F_{2}} (x,y,z)+\mathbf {F_{3}} (x,y,z)$   является решением для поставленной задачи, причём единственным. Если граничное условие не задано, решением задачи являются все возможные функции вида   $\mathbf {F} (x,y,z)=\mathbf {F_{1}} (x,y,z)+\mathbf {F_{2}} (x,y,z)+\mathbf {F_{3}} (x,y,z)$,   где   $\mathbf {F_{3}} (x,y,z)$,   есть градиент любой функции, удовлетворяющей уравнению Лапласа. Если задача ставится во всём пространстве R³, решением (единственным) будет функция   $\mathbf {F} (x,y,z)=\mathbf {F_{1}} (x,y,z)+\mathbf {F_{2}} (x,y,z)$,   обладающая нужным поведением на бесконечности.

Альтернативная формулировка теоремы Гельмгольца

В результате теорема Гельмгольца может быть переформулирована в следующих терминах. Пусть C — соленоидальное векторное поле (div C=0), а d — скалярное поле в R³, которые достаточно гладки и либо заданы в ограниченной области, либо убывают быстрее 1/r² на бесконечности. Тогда существует векторное поле F такое, что

$\nabla \cdot \mathbf {F} =d$   и   $\nabla \times \mathbf {F} =\mathbf {C} .$

Если к тому же векторное поле F рассматривается во всём пространстве R³ и исчезает при r → ∞, тогда F единственно. В общем же случае решение определяется с точностью до аддитивной добавки — градиента произвольной функции, удовлетворяющей уравнению Лапласа.

Другими словами, при определённых условиях векторное поле может быть построено по его ротору и дивергенции, причём когда задача определена во всем пространстве R³, решение однозначно (при априорном предположении, что поле исчезает на бесконечности достаточно быстро). Эта теорема имеет огромное значение в электростатике; например, уравнения Максвелла в статическом случае описывают поля как раз этого типа. Как уже было написано выше, одно из возможных решений:

$\mathbf {F} =-\nabla \,({\mathcal {G}}(d))+\nabla \times ({\mathcal {G}}(\mathbf {C} )).$

См. также

• Векторное поле
• Векторный анализ
• Формулы векторного анализа
• Соленоидальное векторное поле

Литература

• Кочин Н. Е. — Векторное исчисление и начала тензорного анализа
• Корн Г. А., Корн Т. М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974. — С. 177.
• Ли Цзун-дао. Математические методы в физике. — М.: Мир, 1965. — 296 с.