Многоугольник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Примеры многоугольников

Многоуго́льник — это геометрическая фигура, обычно определяемая как замкнутая ломаная.

Существуют три различных варианта определения многоугольника:

  • Плоская замкнутая ломаная — наиболее общий случай;
  • Плоская замкнутая ломаная без самопересечений, любые два соседних звена которой не лежат на одной прямой;
  • Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений — плоский многоугольник

В любом случае вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а её отрезки — сторонами многоугольника.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.
  • Стороны многоугольника называются смежными, если они прилегают к одной вершине.
  • Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями.
  • Углом (или внутренним углом) многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине, и находящийся во внутренней области многоугольника. В частности, угол может превосходить 180°, если многоугольник невыпуклый.
  • Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В общем случае внешний угол это разность между 180° и внутренним углом, он может принимать значения от −180° до 180°.

Виды многоугольников[править | править вики-текст]

Многоугольник, вписанный в окружность
Многоугольник, описанный около окружности

Свойства[править | править вики-текст]

  • Сумма внутренних углов плоского n-угольника без самопересечений равна 180^\circ(n-2).
  • Число диагоналей всякого n-угольника равно n(n-3)/2.

Площадь[править | править вики-текст]

  • Пусть \{(X_i,Y_i)\}, i=1,2,...,n  — последовательность координат соседних друг другу вершин n-угольника без самопересечений . Тогда его площадь вычисляется по формуле:
 S = \frac{1}{2}\left|\sum\limits_{i=1}^n (X_i+X_{i+1})(Y_i-Y_{i+1})\right|, где (X_{n+1},Y_{n+1})=(X_1,Y_1).

Квадрируемость фигур[править | править вики-текст]

С помощью множества многоугольников определяется квадрируемость и площадь произвольной фигуры на плоскости. Фигура F называется квадрируемой, если для любого \varepsilon>0 существует пара многоугольников P и Q, такие что P\subset F\subset Q и S(Q)-S(P)<\varepsilon, где S(P) обозначает площадь P.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

  • Многогранник — обобщение многоугольника в размерности три, замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, или тело, ей ограниченное.