Граница (топология)

Граница в топологии — множество всех точек, расположенных сколь угодно близко как к точкам заданного множества, так и к точкам вне его. Граничной точкой для заданного множества $A$ топологического пространства $X$ называется такая точка $x\in X$, которая входит как в любую окрестность множества $A$, так и в любую окрестность его дополнения $X\setminus A$, то есть входит во всякое открытое множество, содержащее $A$ или $X\setminus A$. Соответственно, границей $\partial _{X}A$ заданного множества является совокупность всех его граничных точек (если объемлющее пространство ясно из контекста, то используется обозначение $\partial A$).

Границы множества и его дополнения совпадают: $\partial _{X}A=\partial _{X}(X\setminus A)$. Граница всегда замкнута; её можно выразить как дополнение к раздельному объединению внутренности $\operatorname {int} A$ и внешности $\operatorname {ext} A$ заданного множества:

$\partial _{X}A=X\setminus (\operatorname {int} A\uplus \operatorname {ext} A)$.

Множество $A$ открыто тогда и только тогда, когда оно не пересекается со своей границей: $A\cap \partial A=\varnothing$; замкнуто — тогда и только тогда, когда $\partial A\subseteq A$; открыто-замкнуто — тогда и только тогда, когда его граница пуста.

Взятие границы в общем случае неинволютивно: $\partial \partial A\subseteq \partial A$, равенство $\partial \partial A=\partial A$ достигается тогда и только тогда, когда внутренность границы пуста ($\operatorname {int} \partial A=\varnothing$); при этом всегда $\partial \partial \partial A=\partial \partial A$.

Примеры

На числовой прямой $\mathbb {R}$ со стандартной топологией для $-\infty <a<b<+\infty$:

$\partial _{\mathbb {R} }(a,b)=\partial _{\mathbb {R} }(a,b]=\partial _{\mathbb {R} }[a,b)=\partial _{\mathbb {R} }[a,b]=\{a,b\}$.

При этом $\partial _{\mathbb {R} }\mathbb {R} =\varnothing$, а $\partial _{\mathbb {R} }\mathbb {Q} =\mathbb {R}$.

Существенно, относительно какого объемлющего топологического пространства рассматривается граница множества: например, для стандартной топологии на $\mathbb {R} ^{2}$ граница открытого круга $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}<1\}$ относительно неё равна окружности $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\}$, потому что окрестность, с помощью понятия которой и определяется граница множества, является плоской фигурой (окрестностью может служить, например, круг с любым ненулевым радиусом) и для того, чтобы любая окрестность граничной точки могла пересекаться как с кругом $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}<1\}$, так и с его дополнением $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}\geqslant 1\}$, граничная точка должна быть на окружности $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\}$. Если же рассмотреть стандартную топологию на $\mathbb {R} ^{3}$, то границей открытого круга $\{(x,y,0)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}<1\}$ будет замкнутый круг $\{(x,y,0)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}\leqslant 1\}$, поскольку внутри $\mathbb {R} ^{3}$ окрестность является уже 3-мерной фигурой (например, шаром), а дополнением круга $\{(x,y,0)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}<1\}$ относительно $\mathbb {R} ^{3}$ уже является $\{(x,y,0)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}\geqslant 1\}\cup \mathbb {R} ^{2}\times (\mathbb {R} \setminus \{0\})$. Соответственно, в таком случае под определение граничной точки открытого круга $\{(x,y,0)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}<1\}$ уже будет попадать не только любая точка окружности $\{(x,y,0)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}=1\}$, но и любая точка исходного множества $\{(x,y,0)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}<1\}$.

Литература

• Граница множества // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
• Дж. Л. Келли. Общая топология. — М.: Наука, 1968.
• Р. Энгелькинг. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.