Граница (топология)

Грани́ца мно́жества A — множество всех точек, расположенных сколь угодно близко как к точкам во множестве A, так и к точкам вне множества A.

Определение

Пусть дано топологическое пространство $(X,{\mathcal {T}})$ , где $X$ — произвольное множество, а ${\mathcal {T}}$ — определённая на $X$ топология. Пусть рассматривается множество $A\subset X.$ Тогда точка $x_{0}\in X$ называется грани́чной то́чкой мно́жества $A$ , только если для любой её окрестности $U\ni x_{0},$ целиком лежащей в этом топологическом пространстве, справедливо:

U\cap A\neq \varnothing

и одновременно с этим

U\cap A^{\complement }\neq \varnothing .

Множество всех граничных точек множества $A$ называется границей множества $A$ (в $X$ ) и обозначается $\partial A$ или $\partial _{X}A$ если необходимо подчеркнуть, что граница рассматривается относительно объемлющего пространства $X$ .

Свойства

$\partial A=\partial \left(A^{\complement }\right);$
$\partial A={\bar {A}}\setminus A^{\circ };$
$\partial A$ — замкнутое множество;
$A$ — открытое множество тогда и только тогда, когда $A\cap \partial A=\emptyset ;$
$A$ — замкнутое множество тогда и только тогда, когда $\partial A\subset A;$
$A$ — открытое и одновременно замкнутое множество тогда и только тогда, когда $\partial A=\emptyset ;$
$\partial \partial A\subset \partial A$ , причем равенство $\partial \partial A=\partial A$ достигается тогда и только тогда, когда $(\partial A)^{\circ }=\emptyset ;$
$\partial \partial \partial A=\partial \partial A.$

Примеры

Рассмотрим числовую прямую $\mathbb {R}$ со стандартной топологией. Тогда: для $-\infty <a<b<+\infty$ :

Для $-\infty <a<b<+\infty$ : $\partial _{\mathbb {R} }(a,b)=\partial _{\mathbb {R} }(a,b]=\partial _{\mathbb {R} }[a,b)=\partial _{\mathbb {R} }[a,b]=\{a,b\};$
$\partial _{\mathbb {R} }\mathbb {R} =\varnothing ;$
$\partial _{\mathbb {R} }\mathbb {Q} =\mathbb {R} .$

При этом очень существенно, относительно какого объемлющего топологического пространства рассматривается граница множества.

Например, дана стандартная топология на $\mathbb {R} ^{2}.$ Тогда граница открытого круга $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\colon x^{2}+y^{2}<1\}$ относительно этой топологии равна окружности $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\colon x^{2}+y^{2}=1\},$ потому что окрестность, с помощью понятия которой и определяется граница множества, является плоской фигурой (окрестностью может служить, например, круг с любым ненулевым радиусом) и для того, чтобы любая окрестность граничной точки могла пересекаться как с кругом $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\colon x^{2}+y^{2}<1\},$ так и с его дополнением $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\colon x^{2}+y^{2}\geqslant 1\},$ граничная точка должна быть на окружности $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\colon x^{2}+y^{2}=1\}.$

Если же рассмотреть стандартную топологию на $\mathbb {R} ^{3},$ то границей открытого круга $\{(x,y,0)\in \mathbb {R} ^{3}\colon x^{2}+y^{2}<1\}$ будет замкнутый круг $\{(x,y,0)\in \mathbb {R} ^{3}\colon x^{2}+y^{2}\leqslant 1\},$ поскольку внутри $\mathbb {R} ^{3}$ окрестность является уже 3-мерной фигурой (допустим, шаром), а дополнением круга $\{(x,y,0)\in \mathbb {R} ^{3}\colon x^{2}+y^{2}<1\}$ относительно $\mathbb {R} ^{3}$ уже является $\{(x,y,0)\in \mathbb {R} ^{3}\colon x^{2}+y^{2}\geqslant 1\}\cup \mathbb {R} ^{2}\times (\mathbb {R} \setminus \{0\})$ . Соответственно, в таком случае под определение граничной точки открытого круга $\{(x,y,0)\in \mathbb {R} ^{3}\colon x^{2}+y^{2}<1\}$ уже будет попадать не только любая точка окружности $\{(x,y,0)\in \mathbb {R} ^{3}\colon x^{2}+y^{2}=1\},$ но и любая точка исходного множества $\{(x,y,0)\in \mathbb {R} ^{3}\colon x^{2}+y^{2}<1\}.$