Закон исключённого третьего

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Закон исключённого третьего (лат. tertium non datur, то есть «третьего не дано») — закон классической логики, состоящий в том, что из двух высказываний — «А» или «не А» — одно обязательно является истинным, то есть два суждения, одно из которых формулирует отрицание другого, не могут быть одновременно ложными. Закон исключённого третьего является одним из основополагающих принципов «классической математики».

С «интуиционистской» (и, в частности, «конструктивистской») точки зрения, установление истинности высказывания вида «А или не А» означает:

  • либо установление истинности ;
  • либо установление истинности его отрицания .

Поскольку, вообще говоря, не существует общего метода, позволяющего для любого высказывания за конечное число шагов установить его истинность или истинность его отрицания, закон исключённого третьего не должен применяться в рамках интуиционистского и конструктивного направлений в математике как аксиома. Помимо прочего, в соответствии с теоремой Гёделя о неполноте, в непротиворечивых формальных логических теориях существуют невыводимые из аксиом утверждения, по причине чего установление их истинности невозможно принципиально. В самом деле: для любой непротиворечивой теории справедливо, что ложные высказывания из её аксиом вывести нельзя. В то же время в таких системах существуют невыводимые истинные высказывания, и это порождает в свою очередь проблемы с определением их истинности или ложности.

В таких случаях применяют метод форсинга П. Коэна, показывая, что некоторые конкретные высказывания независимы от остальных аксиом теории (в некоторых случаях доказывается независимость друг от друга всех аксиом). Поэтому некоторые суждения или могут быть присоединены к списку аксиом, расширяя исходную аксиоматику (как, например, независимы от системы аксиом теории множеств континуум-гипотеза Кантора, аксиома выбора, в системе ZFC недоказуема неизмеримость множества Лузина, в геометрии от аксиом Евклида не зависит аксиома о параллельных, и т.д.).

Формулировка[править | править вики-текст]

В математической логике закон исключённого третьего выражается формулой

где:

Другие формулировки[править | править вики-текст]

Закон исключённого третьего может быть представлен в форме импликации. В самом деле: запись эквивалентна записи , либо, если поменять местами термы, получим, что . Подобный смысл имеют другие логические законы, многие из которых сложились исторически.

В частности, закон двойного отрицания и закон Пирса эквивалентны закону исключённого третьего. Покажем это.

Закон двойного отрицания: =

Закон Пирса:

Это означает, что расширение системы аксиом интуиционистской логики любым из этих трёх законов в любом случае приводит к классической логике. И всё же, в общем случае, существуют логики, в которых все три закона неэквивалентны[1].

Примеры[править | править вики-текст]

Предположим, что P представляет собой утверждение «Сократ смертен». Тогда закон исключённого третьего для P примет вид: «Сократ смертен или Сократ бессмертен», откуда ясно, что закон отсекает все иные варианты, при которых Сократ и не смертен и не бессмертен. Последнее — это и есть то самое «третье», которое исключается.

Гораздо более тонкий пример применения закона исключённого третьего, который хорошо демонстрирует, почему он не является приемлемым с точки зрения интуиционизма, состоит в следующем. Предположим, что мы хотим доказать теорему, что существуют иррациональные числа a и b, такие что рационально. Известно, что иррационально. Рассмотрим . Если данное число рационально, то теорема доказана. Иначе возьмём и . Тогда

то есть рациональное число. По закону исключённого третьего иных вариантов быть не может. Поэтому, теорема в общем случае доказана. Причём доказательство предельно просто и элементарно. С другой стороны, если принять интуиционистскую точку зрения и отказаться от закона исключённого третьего, теорема хотя и может быть доказана, но доказательство её становится исключительно сложным.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Zena M. Ariola and Hugo Herbelin. Minimal classical logic and control operators. In Thirtieth International Colloquium on Automata, Languages and Programming , ICALP’03, Eindhoven, The Netherlands, June 30 — July 4, 2003, volume 2719 of Lecture Notes in Computer Science, pages 871—885. Springer-Verlag, 2003.[1]

См. также[править | править вики-текст]