Конгруэнтное число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Конгруэ́нтное числонатуральное число, равное площади прямоугольного треугольника со сторонами, длины которых выражаются рациональными числами. [1] Более общее определение включает все положительные рациональные числа с этим свойством.[2]

Конгруэнтные числа образуют последовательность

5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45, 46, 47, 52… (последовательность A003273 в OEIS)

Например, 5 является конгруэнтным числом, поскольку оно является площадью треугольника со сторонами 20/3, 3/2 и 41/6. Таким же образом, число 6 является конгруэнтным, поскольку оно является площадью треугольника со сторонами 3,4 и 5. 3 не является конгруэнтным.

Если q является конгруэнтным числом, то s2q тоже является конгруэнтным для некоторого числа s (просто умножим каждую сторону треугольника на s), обратное тоже верно. Это приводит к наблюдению, что является ли ненулевое рациональное число q конгруэнтным числом зависит только от его смежного класса в группе

\mathbb{Q}^{*}/\mathbb{Q}^{*2}.

Любой смежный класс в этой группе содержит в точности одно свободное от квадратов число, поэтому, когда говорят о конгруэнтных числах, имеют ввиду только свободные от квадратов положительные целые числа.

Задача о конгруэнтном числе[править | править вики-текст]

Задача определения, является ли данное рациональное число конгруэнтным, носит имя задача о конгруэнтном числе. Задача (к 2012) пока не решена. Теорема Туннеля[en] даёт простой критерий проверки для определения, является ли число конгруэнтным, но этот результат основывается на гипотезе Бёрча — Свиннертон-Дайера, которая не доказана.

Теорема Ферма о прямоугольном треугольнике, названная в честь Пьера Ферма, утверждает, что никакое квадратное число не может быть конгруэнтным. Однако, в виде утверждения, что любая разность (шаг) между последовательными членами арифметической прогрессии квадратов не является полным квадратом, этот факт был уже известен (без доказательства) Фибоначчи.[3] Любой такой шаг прогрессии является конгруэнтным числом, и любое конгруэнтное число является произведением шага прогрессии на квадрат рационального числа.[4] Однако, определение, является ли число шагом прогрессии квадратов, является существенно более простой задачей, поскольку существует параметрическая формула, в которой необходимо проверить лишь конечное число значений параметров.[5]

Связь с эллиптическими кривыми[править | править вики-текст]

Вопрос, является ли данное число конгруэнтным, оказывается эквивалентен условию, что некоторая эллиптическая кривая имеет положительный ранг.[2] Альтернативный подход к идее представлен ниже (и может быть найден во введении в работе Туннеля).

Предположим, что a,b и c — числа (не обязательно положительные или рациональны), которые удовлетворяют следующим условиям:


	\begin{matrix}
		a^2 + b^2 &=& c^2\\
		\tfrac{1}{2}ab &=& n.
	\end{matrix}

Положим x = n(a+c)/b и y = 2n2(a+c)/b2. Получим

y^2 = x^3 -n^2x

и y не равен 0 (если y = 0, то a = -c, так что b = 0, но (1/2)ab = n нулю не равно, противоречие).

Обратно, если x и y являются числами, удовлетворяющими уравнениям выше и y не равен 0, положим a = (x2 - n2)/y, b = 2nx/y, и c = (x2 + n2)/y . Вычисления показывают, что эти три числа удовлетворяют двум уравнениям выше.

Соответствие между (a,b,c) и (x,y) обратимо, так что мы имеем взаимно-однозначное соответствие между решениями этих двух уравнений для a, b и c и решениями для x и y, где y не равен нулю. В частности, из формул для a, b и c следует, что для рационального n числа a, b и c рациональны тогда и только тогда, кода соответствующие x и y рациональны, и наоборот. (Мы также получаем, что a, b и c положительны тогда и только тогда, когда x и y положительны. Из уравнения y2 = x3 - xn2 = x(x2 - n2) заметим, что если x и y положительны, то x2 - n2 должно быть положительно, так что формула выше для a даст положительное число.)

Таким образом, положительное рациональное число n конгруэнтно тогда и только тогда, когда y2 = x3 - n2x имеет рациональную точку[en] с неравным нулю y. Можно показать (как изящное следствие теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии), что только точки кручения этой эллиптической кривой имеют y равное 0, откуда следует, что существование рациональных точек с ненулевым y эквивалентно утверждению, что эллиптическая кривая имеет положительный ранг.

Современное состояние[править | править вики-текст]

Множество работ посвящено классификации конгруэнтных чисел.

Например, известно[6], что для простого числа p выполняется следующее:

  • если p ≡ 3 (mod 8), то p не является конгруэнтным, но 2p является.
  • если p ≡ 5 (mod 8), то p является конгруэнтным.
  • если p ≡ 7 (mod 8), то p и 2p конгруэнтны.

Также известно[7], что в каждом из классов вычетов 5, 6, 7 (mod 8) и любого заданного k имеется бесконечно много свободных от нулей конгруэнтных чисел с k простыми множителями.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

  1. Weisstein, Eric W. Congruent Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  2. 1 2 Neal Koblitz. Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms. — New York: Springer-Verlag, 1993. — С. 3. — ISBN 0-387-97966-2.
  3. Øystein Ore Number Theory and Its History. — Courier Dover Corporation, 2012.. — С. 202–203. — ISBN 9780486136431..
  4. Keith Conrad The congruent number problem // Harvard College Mathematical Review. — 2008. — Т. 2, вып. 2. — С. 58–73..
  5. David Darling. The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes. — John Wiley & Sons, 2004. — С. 77. — ISBN 9780471667001..
  6. Paul Monsky Mock Heegner Points and Congruent Numbers // Mathematische Zeitschrift. — 1990. — Т. 204, вып. 1. — С. 45–67. — DOI:10.1007/BF02570859.
  7. Ye Tian Congruent Numbers and Heegner Points. — 2012. — arΧiv1210.8231v1.

Литература[править | править вики-текст]

Richard Guy. Unsolved Problems in Number Theory. — ISBN 0-387-20860-7.

  • Историю проблемы смотрите в

Leonard Eugene Dickson. History of the Theory of Numbers. — Т. Volume II. — ISBN 0-8218-1935-6.