Башня полей

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Башня полей — последовательность из расширений для некоторого поля : , может быть конечной или бесконечной. Часто записывается вертикально:

Например, ­— конечная башня расширений поля рациональных чисел, последовательно включающая поля вещественных и комплексных чисел.

Нормальная башня полей — последовательность нормальных расширений, сепарабельная башня полей — последовательность сепарабельных расширений, абелева башня полей — последовательность абелевых расширений.

Классическая задача разрешимости в радикалах многочленов, решённая средствами теории Галуа, может быть сформулирована в терминах башен полей: разрешимость эквивалентна погружаемости поля коэффициентов данного многочлена нормальную и абелеву башню полей.

Башня полей классов — башня полей, построенная над некоторым полем алгебраических чисел, каждый элемент которой является максимальным абелевым неразветвлённым расширением предыдущего. Один из результатов теории полей классов, влекущий важные следствия для алгебраической теории чисел — отрицательное решение неограниченной проблемы Бёрнсайда (теорема Голода — Шафаревича), на языке полей классов формулируется следующим образом: существуют бесконечные башни классов полей[1][2] (в частности, такова башня, построенная над расширением поля рациональных чисел, полученного присоединением числа ).

Примечания[править | править код]

  1. Голод Е. С. О ниль-алгебрах и финитно-аппроксимируемых p-группах // Известия АН СССР. Серия математическая. — 1964. — Т. 28, выпуск 2. — С. 273—276.
  2. Голод Е. С., Шафаревич И. Р. О башне полей классов // Известия АН СССР. Серия математическая. — 1964. — Т. 28, выпуск 2. — С. 261—272.

Литература[править | править код]