Лемма Накаямы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Лемма Накаямы — важная техническая лемма в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии, следствие правила Крамера. Она имеет множество эквивалентных формулировок. Вот одна из них:

Пусть R — коммутативное кольцо с единицей 1, Iидеал в R, а Mконечнопорождённый модуль над кольцом R. Если IM = M, тогда существует a ∈ I такой, что для всякого m ∈ M am = m.

Доказательство леммы. Пусть — образующие модуля M. Так как M = IM, каждый из них представим в виде

, где — элементы идеала I. То есть .

Из формулы Крамера для этой системы следует, что при всяком j

.

Так как представим в виде 1 − a, a из I, лемма доказана.

Следующее следствие из доказанного утверждения также известно как лемма Накаямы:

Следствие 1: Если в условиях леммы идеал I обладает свойством, что для каждого его элемента a элемент 1 − a обратим (например, это так, если I содержится в радикале Джекобсона), необходимо должно быть M = 0.

Доказательство. Существует элемент a идеала I, такой что aM = M, следовательно, (1 − a)M = 0, домножая слева на элемент, обратный к 1 − a, получаем, что M = 0.

Применение к модулям над локальными кольцами[править | править код]

Пусть Rлокальное кольцо, — максимальный идеал в R, Mконечнопорождённый R-модуль, и — гомоморфизм факторизации. Лемма Накаямы даёт удобное средство для перехода от модуля M над локальным кольцом R к фактормодулю , которое есть конечномерное векторное пространство над полем . Следующее утверждение также считается одной из форм леммы Накаямы, применительно к этому случаю:

Элементы порождают модуль M тогда и только тогда, когда их образы порождают фактормодуль .

Доказательство. Пусть S — подмодуль в M, порождённый элементами , Q = M/S — фактормодуль и — гомоморфизм факторизации. Так как порождают фактормодуль , это означает, что для всякого существует , такой что . Тогда . Поскольку сюръективно, это означает, что . По лемме Накаямы (точнее, согласно Следствию 1) Q=0, то есть S=M.

Имеется ещё один вариант леммы Накаямы для модулей над локальными кольцами:

Пусть — гомоморфизм конечнопорождённых R-модулей. Он индуцирует гомоморфизм фактормодулей . Эти гомоморфизмы сюръективны или не сюръективны одновременно.

На основе этой формы леммы Накаямы выводится следующая важная теорема:

Всякий (конечнопорождённый) проективный модуль над локальным кольцом свободен.

Литература[править | править код]

  • М. Атья, И. Макдональд. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972. — 160 с.

См. также[править | править код]