Конечнопорождённый модуль

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Конечнопорождённым модулем над ассоциативным кольцом называется такой модуль, который порождается конечным числом своих элементов. Например, для правого модуля это означает, что существует конечное множество элементов таких, что любой элемент из представим в виде суммы , где  — какие-то элементы кольца .

В числе свойств, тесно связанных с конечнопорожденностью — конечнопредставленность, конечносвязанность и когерентность модуля. Над нётеровым кольцом все четыре свойства эквивалентны.

Конечнопорожденные модули над полем — это в точности конечномерные векторные пространства.

Свойства[править | править вики-текст]

Образ конечнопорожденного модуля при гомоморфизме также конечнопорожден. В общем случае, подмодули конечнопорожденного модуля не обязательно являются конечнопорожденными. Например, рассмотрим кольцо R = Z[x1, x2…] многочленов от бесконечного числа переменных. R конечно порождено как R-модуль. Рассмотрим его подмодуль (то есть идеал), состоящий из всех многочленов с нулевым коэффициентом при константе. Если бы у этого модуля было конечное порождающее множество, то каждый одночлен xi должен бы был содержаться в одном из многочленов этого множества, что невозможно.

Модуль называется нётеровым, если любой его подмодуль конечно порожден. Более того, модуль над нётеровым кольцом является конечнопорожденным тогда и только тогда, когда он является нётеровым.

Пусть 0 → M′MM′′ → 0 — точная последовательность модулей. Если M′ и M′′ здесь конечно порождены, то и M конечно порожден. Верны и некоторые утверждения, частично обратные к данному. Если M конечно порожден и M'' конечно представлен (это более сильное условие, чем конечнопорожденность, см. ниже), то M′ конечно порожден.

В коммутативной алгебре существует определенная связь между конечнопорожденностью и целыми элементами. Коммутативная алгебра A над R называется конечнопорожденной над R, если существует конечное множество её элементов, такое что A — наименьшее подкольцо A, содержащее R и эти элементы. Это более слабое условие, чем конечнопорожденность: например, алгебра многочленов R[x] — конечнопорожденная алгебра, но не конечнопорожденный модуль. Следующие утверждения эквивалентны:[1]

  • A — конечнопорожденный модуль;
  • A — конечнопорожденная алгебра, являющаяся целым расширением R.

Конечно представленные, конечно связанные и когерентные модули[править | править вики-текст]

Свойство конечнопорожденности можно сформулировать так: конечнопорожденный модуль M — это модуль, для которого существует эпиморфизм

f : RkM.

Рассмотрим теперь эпиморфизм

φ : FM.

из свободного модуля F в M.

  • Если ядро φ конечно порождено, M называется конечно связанным модулем. Поскольку M изоморфно F/ker(φ), это свойство можно выразить следующими словами: M получается из свободного модуля добавлением конечного числа соотношений.
  • Если ядро φ конечно порождено и ранг F конечен, M называется конечно представленным модулем. Здесь у M имеется конечное число генераторов (образы генераторов F) и конечное число соотношений (генераторов ker(φ)).
  • Когерентный модуль — это конечнопорожденный модуль, все конечнопорожденные подмодули которого конечно представлены.

Если основное кольцо R нётерово, все четыре условия эквивалентны.

Хотя условие когерентности кажется более «громоздким», чем условия конечной связанности и представленности, оно также интересно, потому что категория когерентных модулей является абелевой, в отличие от категории конечнопорожденных или конечно представленных модулей.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Kaplansky, 1970, Theorem 17, p. 11.
  • Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Факториал Пресс, 2003 — ISBN 5-88688-067-4.
  • Bourbaki, Nicolas, Commutative algebra. Chapters 1—7. Translated from the French. Reprint of the 1989 English translation. Elements of Mathematics (Berlin). Springer-Verlag, Berlin, 1998. xxiv+625 pp. — ISBN 3-540-64239-0
  • Kaplansky, Irving (1970), Commutative rings, Boston, Mass.: Allyn and Bacon Inc., сс. x+180 
  • Lam, T. Y. (1999), Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics No. 189, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5 
  • Lang, Serge (1997), Algebra (3rd ed.), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0