Метод сопряжённых градиентов

Метод сопряжённых градиентов (Метод Флетчера — Ривcа) — метод нахождения локального экстремума функции на основе информации о её значениях и её градиенте. В случае квадратичной функции в $\mathbb {R} ^{n}$ минимум находится не более чем за $n$ шагов.

Основные понятия

Определим терминологию:

Пусть ${\vec {S_{1}}},\ldots ,{\vec {S_{n}}}\in \mathbb {X} \subset \mathbb {R} ^{n}$.

Введём на $\mathbb {X}$ целевую функцию $f({\vec {x}})\in \mathrm {C^{2}} (\mathbb {X} )$.

Векторы ${\vec {S_{1}}},\ldots ,{\vec {S_{n}}}$ называются сопряжёнными, если:

• ${\vec {S_{i}}}^{T}H{\vec {S_{j}}}=0,\quad i\neq j,\quad i,j=1,\ldots ,n$
• ${\vec {S_{i}}}^{T}H{\vec {S_{i}}}\geqslant 0,\quad i=1,\ldots ,n$

где $H$ — матрица Гессе $f({\vec {x}})$.

Теорема (о существовании). Существует хотя бы одна система $n$ сопряжённых направлений для матрицы $H$, т.к. сама матрица $H$ (её собственные вектора) представляет собой такую систему.

Обоснование метода

Нулевая итерация

Иллюстрация последовательных приближений метода наискорейшего спуска (зелёная ломаная) и метода сопряжённых градиентов (красная ломаная) к точке экстремума.

Пусть ${\vec {S_{0}}}=-\nabla f({\vec {x_{0}}})\qquad (1)$

Тогда ${\vec {x_{1}}}={\vec {x_{0}}}+\lambda _{1}{\vec {S_{0}}}\qquad$.

Определим направление

${\vec {S_{1}}}=-\nabla f({\vec {x_{1}}})+\omega _{1}{\vec {S_{0}}}\ \qquad (2)$

так, чтобы оно было сопряжено с ${\vec {S_{0}}}$:

${\vec {S_{0}}}^{T}H{\vec {S_{1}}}=0\qquad (3)$

Разложим $\nabla f({\vec {x}})$ в окрестности ${\vec {x_{0}}}$ и подставим ${\vec {x}}={\vec {x_{1}}}$:

$\nabla f({\vec {x_{1}}})-\nabla f({\vec {x_{0}}})=H\,({\vec {x_{1}}}-{\vec {x_{0}}})=\lambda _{1}H{\vec {S_{0}}}$

Транспонируем полученное выражение и домножаем на $H^{-1}$ справа:

$(\nabla f({\vec {x_{1}}})-\nabla f({\vec {x_{0}}}))^{T}H^{-1}=\lambda _{1}{\vec {S_{0}}}^{T}H^{T}H^{-1}$

В силу непрерывности вторых частных производных $H^{T}=H$. Тогда:

${\vec {S_{0}}}^{T}={\frac {(\nabla f({\vec {x_{1}}})-\nabla f({\vec {x_{0}}}))^{T}H^{-1}}{\lambda _{1}}}$

Подставим полученное выражение в (3):

${\frac {(\nabla f({\vec {x_{1}}})-\nabla f({\vec {x_{0}}}))^{T}H^{-1}H{\vec {S_{1}}}}{\lambda _{1}}}=0$

Тогда, воспользовавшись (1) и (2):

$(\nabla f({\vec {x_{1}}})-\nabla f({\vec {x_{0}}}))^{T}(-\nabla f({\vec {x_{1}}})-\omega _{1}\nabla f({\vec {x_{0}}})))=0\qquad (4)$

Если $\lambda =\arg \min _{\lambda }f({\vec {x_{0}}}+\lambda {\vec {S_{0}}})$, то градиент в точке ${\vec {x_{1}}}={\vec {x_{0}}}+\lambda {\vec {S_{0}}}$ перпендикулярен градиенту в точке ${\vec {x_{0}}}$, тогда по правилам скалярного произведения векторов:

$(\nabla f({\vec {x_{0}}}),\nabla f({\vec {x_{1}}}))=0$

Приняв во внимание последнее, получим из выражения (4) окончательную формулу для вычисления $\omega$:

$\omega _{1}={\frac {||\nabla f({\vec {x_{1}}})||^{2}}{||\nabla f({\vec {x_{0}}})||^{2}}}$

К-я итерация

На k-й итерации имеем набор ${\vec {S_{0}}},\ldots ,{\vec {S_{k-1}}}$.

Тогда следующее направление вычисляется по формуле:

${\vec {S_{k}}}=-\nabla f({\vec {x_{k}}})-\|\nabla f({\vec {x_{k}}})\|^{2}{\cdot }\left({\frac {\nabla f({\vec {x}}_{k-1})}{\|\nabla f({\vec {x}}_{k-1})\|^{2}}}+\ldots +{\frac {\nabla f({\vec {x_{0}}})}{\|\nabla f({\vec {x}}_{0})\|^{2}}}\right)$

Это выражение может быть переписано в более удобном итеративном виде:

${\vec {S_{k}}}=-\nabla f({\vec {x_{k}}})+\omega _{k}{\vec {S}}_{k-1},\qquad \omega _{i}={\frac {\|\nabla f({\vec {x_{i}}})\|^{2}}{\|\nabla f({\vec {x}}_{i-1})\|^{2}}},$

где $\omega _{k}$ непосредственно рассчитывается на k-й итерации.

Алгоритм

• Пусть ${\vec {x}}_{0}$ — начальная точка, ${\vec {r}}_{0}$ — направление антиградиента и мы пытаемся найти минимум функции $f({\vec {x}})$. Положим ${\vec {S}}_{0}={\vec {r}}_{0}$ и найдём минимум вдоль направления ${\vec {S}}_{0}$. Обозначим точку минимума ${\vec {x}}_{1}$.

• Пусть на некотором шаге мы находимся в точке ${\vec {x}}_{k}$, и ${\vec {r}}_{k}$ — направление антиградиента. Положим ${\vec {S}}_{k}={\vec {r}}_{k}+\omega _{k}{\vec {S}}_{k-1}$, где $\omega _{k}$ выбирают либо ${\frac {({\vec {r}}_{k},{\vec {r}}_{k})}{({\vec {r}}_{k-1},{\vec {r}}_{k-1})}}$ (стандартный алгоритм — Флетчера-Ривса, для квадратичных функций с $H>0$), либо $\max(0,{\frac {({\vec {r}}_{k},{\vec {r}}_{k}-{\vec {r}}_{k-1})}{({\vec {r}}_{k-1},{\vec {r}}_{k-1})}})$ (алгоритм Полака–Рибьера). После чего найдём минимум в направлении ${\vec {S_{k}}}$ и обозначим точку минимума ${\vec {x}}_{k+1}$. Если в вычисленном направлении функция не уменьшается, то нужно забыть предыдущее направление, положив $\omega _{k}=0$ и повторив шаг.

Формализация

1. Задаются начальным приближением и погрешностью: ${\vec {x}}_{0},\quad \varepsilon ,\quad k=0$
2. Рассчитывают начальное направление: $j=0,\quad {\vec {S}}_{k}^{j}=-\nabla f({\vec {x}}_{k}),\quad {\vec {x}}_{k}^{j}={\vec {x}}_{k}$
3. ${\vec {x}}_{k}^{j+1}={\vec {x}}_{k}^{j}+\lambda {\vec {S}}_{k}^{j},\quad \lambda =\arg \min _{\lambda }f({\vec {x}}_{k}^{j}+\lambda {\vec {S}}_{k}^{j}),\quad {\vec {S}}_{k}^{j+1}=-\nabla f({\vec {x}}_{k}^{j+1})+\omega {\vec {S}}_{k}^{j},\quad \omega ={\frac {||\nabla f({\vec {x}}_{k}^{j+1})||^{2}}{||\nabla f({\vec {x}}_{k}^{j})||^{2}}}$
   • Если $||{\vec {S}}_{k}^{j+1}||<\varepsilon$ или $||{\vec {x}}_{k}^{j+1}-{\vec {x}}_{k}^{j}||<\varepsilon$, то ${\vec {x}}={\vec {x}}_{k}^{j+1}$ и остановка.
   • Иначе
     • если $(j+1)<n$, то $j=j+1$ и переход к 3;
     • иначе ${\vec {x}}_{k+1}={\vec {x}}_{k}^{j+1},\quad k=k+1$ и переход к 2.

Случай квадратичной функции

Теорема. Если сопряжённые направления используются для поиска минимума квадратичной функции, то эта функция может быть минимизирована за $n$ шагов, по одному в каждом направлении, причём порядок несущественен.

Литература

1. Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов эконом. спец. вузов. — М.: Высш. шк., 1986.
2. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. Пер. с англ. — М.: Мир, 1985.
3. Коршунов Ю. М., Коршунов Ю. М. Математические основы кибернетики. — М.: Энергоатомиздат, 1972.
4. Максимов Ю. А.,Филлиповская Е. А. Алгоритмы решения задач нелинейного программирования. — М.: МИФИ, 1982.
5. Максимов Ю. А. Алгоритмы линейного и дискретного программирования. — М.: МИФИ, 1980.
6. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1970. — С. 575—576.