Многочлены Фабера

Многочлены Фабера — обобщение многочленов Чебышёва.

Определение

Пусть $K$ — ограниченный континуум — ограниченное непустое связное множество, содержащее более одной точки. И $g_{\infty }$ — это та из смежных с $K$ областей, к которой принадлежит $z=\infty$. $g_{\infty }\equiv D$ — односвязная область расширенной плоскости, граница которой $\Gamma _{\infty }$ является частью континуума $K$.

Область $g_{\infty }$ конформно отображается на внешность круга с центром в точке $w=0$ посредством функции $w=\Phi (z)$ так, что выполняются два условия:

$\Phi (\infty )=\infty$

$\lim _{z\to \infty }\Phi (z)/z=\gamma >0$

которыми функция $\Phi (z)$ определяется единственным образом. Из этих условий следует, что функция $w=\Phi (z)$, являясь аналитической в области $D$, кроме точки $z=\infty$, имеет в точке $z=\infty$ простой полюс, и поэтому её лорановское разложение в некоторой окрестности точки $z=\infty$ имеет вид

$\Phi (z)=\gamma z+\gamma _{0}+\gamma _{1}/z+\gamma _{2}/z^{2}+\ldots .$

Многочленом Фабера n-го порядка, порождённым континуумом $K$, называется многочлен

$\Phi _{n}(z)=\gamma ^{n}z^{n}+a_{n-1}^{(n)}z^{n-1}+a_{n-2}^{(n)}z^{n-2}+\ldots +a_{1}^{(n)}z+a_{0}^{(n)}$

представляющий собой члены с неотрицательными степенями $z$ в лорановском разложении функции $\Phi (z)^{n}$ в окрестности бесконечно удаленной точки.

Свойства

• Многочлены Чебышёва являются частным случаем многочленов Фабера при $K=[-1;1]$.

Ссылки

• Суетин П. К. Многочлены Фабера.
• Weisstein, Eric W. Faber Polynomial (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.