Многочлены Чебышёва

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Многочлены Чебышёва первого рода
Общая информация
Формула

Скалярное произведение

Область определения

Дополнительные характеристики
Названы в честь

Чебышёв, Пафнутий Львович

Многочлены Чебышёва второго рода
Общая информация
Формула

Скалярное произведение

Область определения

Дополнительные характеристики
Названы в честь

Чебышёв, Пафнутий Львович

Многочле́ны Чебышёва — две последовательности ортогональных многочленов и , названные в честь Пафнутия Львовича Чебышёва:

  • Многочлен Чебышёва первого рода характеризуется как многочлен степени со старшим коэффициентом , который меньше всего отклоняется от нуля на отрезке . Впервые рассмотрены самим Чебышёвым.
Многочлены Чебышёва второго рода
  • Многочлен Чебышёва второго рода характеризуется как многочлен степени со старшим коэффициентом , интеграл от абсолютной величины которого по отрезку принимает наименьшее возможное значение. Впервые рассмотрены в совместной работе двух учеников Чебышёва — Коркина и Золотарёва.
Многочлены Чебышёва первого рода

Многочлены Чебышёва играют важную роль в теории приближений, поскольку корни многочленов Чебышёва первого рода используются в качестве узлов в интерполяции алгебраическими многочленами.

Определения[править | править код]

Рекуррентные формулы[править | править код]

Многочлены Чебышёва первого рода могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения:

Многочлены Чебышёва второго рода могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения:

Явные формулы[править | править код]

Многочлены Чебышёва являются решениями уравнения Пелля:

в кольце многочленов с вещественными коэффициентами и удовлетворяют тождеству:

Из последнего тождества также следуют явные формулы:

Соотношения[править | править код]

т.е. многочлены Чебышёва первого рода, с правилом умножения , образуют полугруппу, изоморфную мультипликативной полугруппе целых неотрицательных чисел.

Тригонометрическое определение[править | править код]

Многочлены Чебышёва первого рода могут быть также определены с помощью равенства:

или, что почти эквивалентно,

Многочлены Чебышёва второго рода могут быть также определены с помощью равенства:

Примеры[править | править код]

Несколько первых многочленов Чебышёва первого рода

Несколько первых многочленов Чебышёва второго рода

Свойства[править | править код]

Многочлены Чебышёва обладают следующими свойствами:

  • Многочлены чётных степеней являются чётными функциями, нечётных — нечётными функциями.
  • Сумма коэффициентов многочленов Чебышёва первого рода равняется 1, а коэффициентов многочленов второго рода равняется .
  • Ортогональность по отношению к соответствующим скалярному произведению (с весом для многочленов первого рода и для многочленов второго рода).
  • Среди всех многочленов, значения которых на отрезке не превосходят по модулю 1, многочлен Чебышёва имеет:
    • наибольший старший коэффициент
    • наибольшее значение в любой точке за пределами
    • если , то , где  — коэффициент многочлена Чебышёва первого рода,  — коэффициент любого из рассматриваемых полиномов.
  • Нули полиномов Чебышёва являются оптимальными узлами в различных интерполяционных схемах. Например, в методе дискретных особенностей, который часто используется при исследовании интегральных уравнений в электродинамике и аэродинамике.
  • На концах и середине отрезка выполняются следующие соотношения:
  • Многочлен Чебышёва первого рода порядка N является частным случаем фигур Лиссажу при соотношении частот, равном N и амплитуде обоих сигналов, равной 1.
  • Многочлен Чебышёва первого и второго рода соответствуют паре последовательностей Люка и с параметрами :

Применения[править | править код]

1. Теория приближений, приближение экспериментальных данных(точек) функцией.
Многочлены Чебышева используются для приближения функцией(рядом многочленов Чебышева) экспериментальных данных, для этого область определения экспериментальных данных должна быть линейно отображена в интервал ортогональности аппроксимирующих многочленов, в данном случае это многочлены Чебышева, с интервалом ортогональности .
, где  — линейное отображение,  — область определения точек.
Примером отображения , отображающего заданный интервал в область ортогональности многочленов, , может быть функция:
2. Многочлены Чебышёва применяются для расчета антенной решётки. Мощность излучения каждой антенны рассчитывается при помощи многочленов Чебышёва. Это позволяет управлять формой диаграммы направленности, а точнее соотношением амплитуды основного и боковых лепестков.

Вариации и обобщения[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]