Некооперативная игра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Некооперативная игра — термин теории игр. Некооперативной игрой называется математическая модель взаимодействия нескольких сторон (игроков), в процессе которого они не могут формировать коалиции и координировать свои действия.

Некооперативная игра в нормальной форме[править | править вики-текст]

Некооперативной игрой в нормальной форме называется тройка , где  — множество участников игры (сторон, игроков);  — множество стратегий участника ;  — функция выигрыша участника , определенная на множестве ситуаций и отображающая его во множество действительных чисел.

Некооперативная игра в нормальной форме предполагает следующий порядок разыгрывания.

1. Игроки одновременно и независимо друг от друга выбирают из множеств свои стратегии. Вектор стратегий всех игроков представляет собой ситуацию в игре.

2. Каждый игрок получает выигрыш, определяемый значением функции , на этом взаимодействие между ними прекращается.

Нормальная форма игры описывает статическое взаимодействие игроков, не предусматривая возможности последовательных ходов, накопления информации о действиях соперника и повторяющегося взаимодействия. Для моделирования этих аспектов используется развернутая форма игры.

Некооперативная игра в развернутой форме[править | править вики-текст]

Некооперативная игра в развернутой форме с множеством игроков представляется с использованием ориентированного дерева (дерева игры) следующим образом.

Вершины дерева представляют собой состояния (позиции), в которых может оказываться игра, ребра — ходы, которые могут использовать игроки. Предполагается, что в каждой позиции может совершать ход не более одного игрока. Выделяется три вида позиций в игре:

  • начальная, представляемая корнем дерева (вершиной, не имеющей входящих ребер);
  • промежуточные, имеющие входящие и выходящие ребра;
  • терминальные, имеющие только входящие ребра.

Начальная и промежуточные позиции образуют множество нетерминальных позиций.

Для каждой вершины дерева , соответствующей нетерминальной позиции, определен игрок , совершающий в ней ход и множество ходов этого игрока . Каждому ходу соответствует ребро, выходящее из вершины .

Для учета несовершенства информации, имеющейся у игроков, нетерминальные вершины могут объединяться в информационные множества.

Для каждой вершины , соответствующей терминальной позиции, определены функции выигрыша всех игроков .

Игра предполагает следующий порядок разыгрывания:

1. Игра начинается из начальной позиции.

2. В любой нетерминальной позиции игрок, имеющий в ней право хода, выбирает ход , в результате чего игра попадает в следующую позицию, в которую входит ребро, соответствующее ходу . Если эта позиция является нетерминальной, то повторяется п. 2.

3. Если игра попадает в терминальную позицию , то все игроки получают выигрыши , и игра завершается.

Принципы оптимальности[править | править вики-текст]

Основным принципом оптимальности стратегий для некооперативных игр в нормальной форме является равновесие Нэша, основанное на невозможности отклонений участников от выбранных стратегий. К настоящему времени разработано семейство принципов, основанных на равновесии Нэша, и называемых очищениями равновесия Нэша (Nash equilibrium refinements), наиболее часто используемыми среди которых являются:

Менее универсальными, используемыми в отдельных классах некооперативных игр, являются следующие принципы:

Для некооперативных игр в развернутой форме также используются принципы оптимальности, основанные на равновесии Нэша, но учитывающие специфику динамического взаимодействия игроков. К основным из них относятся:

Примеры[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Петросян Л. А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр: Учеб. пособие для ун-тов. — М.: Высш. шк., Книжный дом «Университет», 1998. — С. 304. — ISBN 5-06-001005-8, 5-8013-0007-4.
  • Васин А. А., Морозов В. В. Теория игр и модели математической экономики. — М., 2005.