Некооперативная игра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Некооперативная игра — термин теории игр. Некооперативной игрой называется математическая модель взаимодействия нескольких сторон (игроков), в процессе которого они не могут формировать коалиции и координировать свои действия.

Некооперативная игра в нормальной форме[править | править исходный текст]

Некооперативной игрой в нормальной форме называется тройка \Gamma = <I,\ S_i,\ H_i>, где  \ I - множество участников игры (сторон, игроков); \ S_i - множество стратегий участника  \ i \in \ I ; \ H_i - функция выигрыша участника \ i, определенная на множестве ситуаций \ S = \prod_{i \in I} S_i и отображающая его во множество действительных чисел.

Некооперативная игра в нормальной форме предполагает следующий порядок разыгрывания.

1. Игроки одновременно и независимо друг от друга выбирают из множеств \ S_i свои стратегии. Вектор стратегий  \ s=(s_1, s_2, ..., s_n) всех игроков представляет собой ситуацию в игре.

2. Каждый игрок получает выигрыш, определяемый значением функции \ H_i(s), на этом взаимодействие между ними прекращается.

Нормальная форма игры описывает статическое взаимодействие игроков, не предусматривая возможности последовательных ходов, накопления информации о действиях соперника и повторяющегося взаимодействия. Для моделирования этих аспектов используется развернутая форма игры.

Некооперативная игра в развернутой форме[править | править исходный текст]

Некооперативная игра в развернутой форме с множеством игроков  \ I представляется с использованием ориентированного дерева (дерева игры) следующим образом.

Вершины дерева представляют собой состояния (позиции), в которых может оказываться игра, ребра - ходы, которые могут использовать игроки. Предполагается, что в каждой позиции может совершать ход не более одного игрока. Выделяется три вида позиций в игре:

  • начальная, представляемая корнем дерева (вершиной, не имеющей входящих ребер);
  • промежуточные, имеющие входящие и выходящие ребра;
  • терминальные, имеющие только входящие ребра.

Начальная и промежуточные позиции образуют множество нетерминальных позиций.

Для каждой вершины дерева  \ v , соответствующей нетерминальной позиции, определен игрок \ i, совершающий в ней ход и множество ходов этого игрока \ S_v. Каждому ходу \ s \in \ S_v соответствует ребро, выходящее из вершины \ v.

Для учета несовершенства информации, имеющейся у игроков, нетерминальные вершины могут объединяться в информационные множества.

Для каждой вершины \ v, соответствующей терминальной позиции, определены функции выигрыша всех игроков \ H_i(v).

Игра предполагает следующий порядок разыгрывания:

1. Игра начинается из начальной позиции.

2. В любой нетерминальной позиции \ v игрок, имеющий в ней право хода, выбирает ход \ s \in \ S_v, в результате чего игра попадает в следующую позицию, в которую входит ребро, соответствующее ходу \ s. Если эта позиция является нетерминальной, то повторяется п. 2.

3. Если игра попадает в терминальную позицию \ v, то все игроки получают выигрыши \ H_i(v), и игра завершается.

Принципы оптимальности[править | править исходный текст]

Основным принципом оптимальности стратегий для некооперативных игр в нормальной форме является равновесие Нэша, основанное на невозможности отклонений участников от выбранных стратегий. К настоящему времени разработано семейство принципов, основанных на равновесии Нэша, и называемых очищениями равновесия Нэша (Nash equilibrium refinements), наиболее часто используемыми среди которых являются:

Менее универсальными, используемыми в отдельных классах некооперативных игр, являются следующие принципы:

Для некооперативных игр в развернутой форме также используются принципы оптимальности, основанные на равновесии Нэша, но учитывающие специфику динамического взаимодействия игроков. К основным из них относятся:

Примеры[править | править исходный текст]

См.также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Петросян Л. А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр: Учеб. пособие для ун-тов. — М.: Высш. шк., Книжный дом «Университет», 1998. — С. 304. — ISBN 5-06-001005-8, 5-8013-0007-4
  • Васин А. А., Морозов В. В. Теория игр и модели математической экономики. — М., 2005.