Модель Штакельберга

Модель Штакельберга — теоретико-игровая модель олигополистического рынка при наличии информационной асимметрии. Названа в честь немецкого экономиста Генриха фон Штакельберга, впервые описавшего её в работе Marktform und Gleichgewicht (Структура рынка и равновесие), вышедшей в 1934 г.

В этой модели поведение фирм описывается динамической игрой с полной совершенной информацией, что отличает её от модели Курно, в которой поведение фирм моделируется с помощью статической игры с полной информацией. Главной особенностью игры является наличие лидирующей фирмы, которая первой устанавливает объём выпуска товаров, а остальные фирмы ориентируются в своих расчетах на неё.

Формальное определение

В дуополии Штакельберга предполагается иерархия игроков. Первым своё решение объявляет игрок I, после этого стратегию выбирает игрок II. Первый игрок называется лидером, а второй - ведомым. Равновесием по Штакельбергу в игре называется набор стратегий $(x^{*},y^{*})$, где $y^{*}=R(x^{*})$ есть наилучший ответ игрока II на стратегию $x^{*}$, которая находится как решение задачи

$H(x^{*},y^{*})=\max \limits _{x}H(x,R(x))$.

Основные предпосылки

1. Отрасль производит однородный товар: отличия продукции разных фирм пренебрежимо малы, а значит, покупатель при выборе, у какой фирмы покупать, ориентируется только на цену
2. Фирмы устанавливают количество производимой продукции, а цена на неё определяется исходя из спроса.
3. Существует так называемая фирма-лидер, на объём производства которой ориентируются остальные фирмы.

Частный случай: моделирование дуополии

Пусть существует отрасль с двумя фирмами, одна из которых «фирма-лидер», другая — «фирма-последователь». Пусть цена на продукцию является линейной функцией общего объема предложения Q:

$P(Q)=a-bQ$.

Предположим также, что издержки фирм на единицу продукции постоянны и равны с₁ и с₂ соответственно. Тогда прибыль первой фирмы, а также условие её максимизации будет определяться следующими формулами:

$\Pi _{1}=P(Q_{1}+Q_{2})*Q_{1}-c_{1}Q_{1}$, или $\Pi _{1}=(a-b*(Q_{1}+Q_{2}))*Q_{1}-c_{1}Q_{1},{d\pi _{1} \over dQ_{1}}=a-b(Q_{1}+Q_{2})-bQ_{1}-bQ_{1}{dQ_{2} \over dQ_{1}}-c_{1}=0$, так как оптимальный объем выпуска фирмы последователя известен $Q_{2}^{*}={\frac {(a-bQ_{1}^{*}-c_{2})}{2b}}$или $Q_{2}^{*}={\frac {a-c_{2}}{2b}}-{\frac {Q_{1}}{2}}$ исходя из равновесия по Курно, то можно вычислить условие максимизации для фирмы-лидера ${dQ_{2} \over dQ_{1}}=-1/2$, с учетом этого суждения оптимальный выпуск фирмы один составит $Q_{1}^{*}={\frac {2(a-c_{1})}{3b}}-{\frac {2Q_{2}}{3}}$- функция лидера

при этом прибыль второй фирмы и условие ее максимизации соответственно

$\Pi _{2}=P(Q_{1}+Q_{2})*Q_{2}-c_{2}Q_{2},{d\pi _{2} \over dQ_{2}}=a-b(Q_{1}+Q_{2})-bQ_{2}-c_{2}=0$, то есть фирма два считает, что выпуск фирмы один не изменится при изменении собственного выпуска, либо можно трактовать это как форму безразличия к поведению фирмы один.

$Q_{2}^{*}={\frac {a-c_{2}}{2b}}-{\frac {Q_{1}}{2}}$ - функция последователя;

В соответствии с моделью Штакельберга, первая фирма — фирма-лидер — на первом шаге назначает свой выпуск Q₁. После этого вторая фирма — фирма-последователь — анализируя действия фирмы-лидера определяет свой выпуск Q₂. Целью обеих фирм является максимизация своих платёжных функций.

Разрешая систему уравнений получаем следующие оптимальный выпуск для обеих фирм:

$Q_{1}^{*}={\frac {a-2c_{1}+c_{2}}{2b}}$ - фирма лидер

$Q_{2}^{*}={\frac {a-3c_{2}+2c_{1}}{4b}}$- фирма последователь

Равновесие Нэша в этой игре определяется методом обратной индукции. Рассмотрим предпоследний этап игры — ход второй фирмы. На этом этапе фирма 2 знает объем оптимального выпуска продукции первой фирмой Q₁^*.

$Q_{1}^{*}={\frac {a-c_{1}}{2b}}-{\frac {Q_{2}}{2}}$.

Тогда задача определения оптимального выпуска Q₂^* сводится к решению задачи нахождения точки максимума платёжной функции второй фирмы. Максимизируя функцию Π₂ по переменной Q₂, считая Q₁ заданным, находим, что оптимальный выпуск второй фирмы

$Q_{2}^{*}={\frac {a-c_{2}}{2b}}-{\frac {Q_{1}}{2}}$.

Это наилучший ответ фирмы-последователя на выбор фирмой-лидером выпуска Q₁^*. Фирма-лидер может максимизировать свою платёжную функцию, учитывая вид функции Q₂^*. Точка максимума функции Π₁ по переменной Q₁ при подстановке Q₂^* в условие максимизации будет

$Q_{1}^{*}={\frac {2(a-c_{1})}{3b}}-{\frac {2Q_{2}}{3}}$.откуда, $Q_{1}^{*}={\frac {a-2c_{1}+c_{2}}{2b}}$

Подставляя это в выражение для Q₂^*, получим

$Q_{2}^{*}={\frac {a-3c_{2}+2c_{1}}{4b}}$

Таким образом, в равновесии фирма-лидер производит в два раза большее количество продукции, нежели фирма-последователь (при с = с₁ = с₂)

$Q_{1}^{*}={\frac {a-c}{2b}}$ , $Q_{2}^{*}={\frac {a-c}{4b}}$ , $P^{*}={\frac {a+3c}{4}}$ находим из уравнения $P(Q)=a-bQ$. , $P^{*}={\frac {a+2c_{1}+c_{2}}{4}}$

В данном случае фирма-стратег получает большую прибыль, чем в равновесии Курно, когда оба олигополиста считают, что их действия не влияют друг на друга. При этом фирма последователь получает прибыль меньше, чем при равновесии Курно.

Сравнение выводов с выводами модели Курно

В модели Курно суммарный выпуск для такой же функции спроса будет ниже $Q_{1}^{*}=Q_{2}^{*}={\frac {a-c}{3b}}$ , а цена соответственно выше $P^{*}={\frac {a+2c}{3}}$, на величину ${\frac {a-c}{12}}$следовательно на уровне теоретических рассуждений можно предположить, что для общества в отраслях, где сложилась олигополия, выгодно выделение фирмы-лидера, обладающего значительной рыночной властью, так как существование примерно одинаковых по размерам и рыночной власти фирм (что предполагается в модели Курно) ведет к росту цены и сокращению выпуска.

См. также

• Модель Курно
• Модель Бертрана
• Равновесие Нэша