Неравенство Гаека — Реньи

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Формулировка[править | править код]

Если случайные величины являются независимыми, , а  — невозрастающая последовательность неотрицательных чисел, то для любого и для всех выполнено

Доказательство[править | править код]

Введём следующие обозначения:

,

Найдем математическое ожидание и преобразуем его к удобному виду:

Рассмотрим следующие случайные события для некоторого

События являются несовместными. Значит,

Теорема будет доказана, если будет установлено неравенство:

Докажем его:

Следствие (неравенство Колмогорова)[править | править код]

Если случайные величины независимы и имеют конечные математические ожидания и дисперсии, то

Доказательство[править | править код]

Доказательство вытекает из неравенства Гаека — Реньи, если

Это неравенство можно записать в виде:

Литература[править | править код]

  • Лазакович Н.В., Сташуленок С.П., Яблонский О.Л. Курс Теории Вероятностей. — 2003. — 322 с. (Глава 6 § 3 раздел 2)

См. также[править | править код]