Неравенство Гаека — Реньи в теории вероятностей названо по имени Ярослава Гаека и Альфреда Реньи.
Если случайные величины
являются независимыми,
, а
— невозрастающая последовательность неотрицательных чисел, то для любого
и для всех
выполнено
![{\displaystyle P\left(\max _{m\leqslant k\leqslant n}C_{k}\left|\sum _{i=1}^{k}\left(\xi _{i}-a_{i}\right)\right|>\varepsilon \right)\leqslant {\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}\left(C_{m}^{2}\sum _{k=1}^{m}\sigma _{k}^{2}+\sum _{k=m+1}^{n}C_{k}^{2}\sigma _{k}^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52e1b0b46233a67f9cbb3ae261bdf563135aafa1)
Введём следующие обозначения:
,
![{\displaystyle \eta =\sum _{k=m}^{n-1}S_{k}^{2}\left(C_{k}^{2}-C_{k+1}^{2}\right)+S_{n}^{2}C_{n}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f42d56ca14a713fb16bb2075acedad8f21c07431)
Найдем математическое ожидание
и преобразуем его к удобному виду:
![{\displaystyle {\mathsf {M}}\eta =\sum _{k=m}^{n-1}\left(C_{k}^{2}-C_{k+1}^{2}\right){\mathsf {M}}S_{k}^{2}+C_{n}^{2}{\mathsf {M}}S_{n}^{2}=\sum _{k=m}^{n-1}\sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{2}\left(C_{k}^{2}-C_{k+1}^{2}\right)+C_{n}^{2}\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08736ed9a0ea1e721706eeb7f441a662772b9bef)
Рассмотрим следующие случайные события для некоторого
![{\displaystyle A_{i}=\left\{\omega \in \Omega :C_{k}\left|S_{k}\left(\omega \right)\right|\leq \varepsilon ,m\leq k\leq i-1,C_{i}\left|S_{i}\left(\omega \right)\right|>\varepsilon \right\},i={\overline {m,n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18a39b0c1bb3120305644643c3ce617b259c16eb)
События
являются несовместными. Значит,
![{\displaystyle P\left(\max _{m\leq k\leq }C_{k}\left|\sum _{i=1}^{k}\left(\xi _{i}-a_{i}\right)\right|>\varepsilon \right)=P\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\sum _{i=m}^{n}P\left(A_{i}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0b0fa8aca8202d8bd40d8695512ef69a8b0d9eb)
Теорема будет доказана, если будет установлено неравенство:
![{\displaystyle {\mathsf {M}}\eta \geq \varepsilon ^{2}\sum _{i=m}^{n}P\left(A_{i}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c679d55398d98b906db9ef4405e09fc1549fed1)
Докажем его:
![{\displaystyle {\mathsf {M}}\eta \geq {\mathsf {M}}\eta \sum _{i=m}^{n}I_{A_{i}}=\sum _{i=m}^{n}{\mathsf {M}}\eta I_{A_{i}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc8c3fd3de966f4964c1fe2cd07bf4e1e0e61739)
![{\displaystyle {\mathsf {M}}\eta I_{A_{i}}=\sum _{k=m}^{n-1}\left(C_{k}^{2}-C_{k+1}^{2}\right){\mathsf {M}}S_{k}^{2}I_{A_{i}}+C_{n}^{2}{\mathsf {M}}S_{n}^{2}I_{A_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/754783cfd0cc6590f9d373a5e48420424b3344cc)
![{\displaystyle {\mathsf {M}}\eta I_{A_{i}}={\mathsf {M}}\left(S_{k}-S_{i}+S_{i}\right)^{2}I_{A_{i}}\geq {\mathsf {M}}S_{i}^{2}I_{A_{i}}+2{\mathsf {M}}\left(S_{k}-S_{i}\right)S_{i}I_{A_{i}}={\mathsf {M}}S_{i}^{2}I_{A_{i}}+2{\mathsf {M}}\left(S_{k}-S_{i}\right){\mathsf {M}}S_{i}I_{A_{i}}\geq {\mathsf {M}}{\frac {\varepsilon ^{2}}{C_{i}^{2}}}I_{A_{i}}={\frac {\varepsilon ^{2}}{C_{i}^{2}}}P\left(A_{i}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8a76859ab637f5c2435970c7305c90fb3359967)
Если случайные величины
независимы и имеют конечные математические ожидания и дисперсии, то
![{\displaystyle P\left(\max _{1\leq k\leq n}{\frac {1}{k}}\left|\sum _{i=1}^{k}\left(\xi _{i}-{\mathsf {M}}\xi _{i}\right)\right|>\varepsilon \right)\leq {\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {D\xi _{k}}{k^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d03932c732f70bdd386da189579bb88daa7524e6)
Доказательство вытекает из неравенства Гаека — Реньи, если
![{\displaystyle C_{k}={\frac {1}{k}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9244608aa0d0868543f5d5faba679675088262b6)
![{\displaystyle m=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6100c5ebd48c6fd848709f2be624465203eb173)
Это неравенство можно записать в виде:
![{\displaystyle P\left(\max _{1\leq k\leq n}{\frac {1}{k}}\left|\sum _{i=1}^{k}\left(\xi _{i}-{\mathsf {M}}\xi _{i}\right)\right|>\varepsilon \right)\leq {\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}\sum _{k=1}^{n}D\xi _{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd84f6ff8638ae7a95630b946b93aa540be64326)
- Лазакович Н.В., Сташуленок С.П., Яблонский О.Л. Курс Теории Вероятностей. — 2003. — 322 с. (Глава 6 § 3 раздел 2)