Неравенство Маркова

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Нера́венство Ма́ркова в теории вероятностей даёт оценку вероятности, что случайная величина превзойдёт по модулю фиксированную положительную константу, в терминах её математического ожидания. Хотя получаемая оценка обычно груба, она позволяет получить определённое представление о распределении, когда последнее не известно явным образом.

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть случайная величина X:\Omega \to \mathbb{R} определена на вероятностном пространстве (\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P}), и её математическое ожидание \mathbb{E}X конечно. Тогда

\mathbb{P}\left(|X| \geqslant a\right) \leqslant \frac{\mathbb{E}|X|}{a},

где a>0.

Если в неравенство подставить вместо случайной величины X случайную величину (X-\mathbb{E}X)^{2}, то получим неравенство Чебышёва:

\mathbb{P}(|X-\mathbb{E}(X)| \geq a) \leq \frac{\textrm{Var}(X)}{a^2}.

Пример[править | править вики-текст]

Пусть X \geqslant 0 — неотрицательная случайная величина. Тогда, взяв a = 2 \mathbb{E}X, получаем

\mathbb{P}(X \geqslant 2 \mathbb{E}X) \leqslant \frac{1}{2}.

Пример[править | править вики-текст]

В среднем ученики опаздывают на 3 минуты. Какова вероятность того, что ученик опоздает на 15 и более минут? Дайте грубую оценку сверху. Ответ:

\mathbb{P}(|X| \geqslant 15) \leqslant 3/15 = 0.2.

Неравенство Маркова[править | править вики-текст]

Для каждой неотрицательной случайной величины X, которая имеет математическое ожидание M[X]<\infty при любом \varepsilon>0 справедливо неравенство:

P\{X\geq \varepsilon\}\leq {\frac{M[X]}{\varepsilon}}.

Доказательство[править | править вики-текст]

Пусть X - непрерывная случайная величина (x \geq 0) имеет плотность распределения f(x) \geq 0. Тогда

M[X]=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} xf(x)dx=\int\limits_{0}^{+\infty}xf(x)dx=\int\limits_{0}^{\varepsilon}xf(x)dx+\int\limits_{\varepsilon}^{+\infty}xf(x)dx,

так как

\int\limits_{0}^{\varepsilon}xf(x)dx\geq 0,

то

M[X]=\int\limits_{0}^{\varepsilon}xf(x)dx+\int\limits_{\varepsilon}^{+\infty}xf(x)dx\geq \int\limits_{\varepsilon}^{+\infty}xf(x)dx\geq \int\limits_{\varepsilon}^{+\infty}\varepsilon\cdot f(x)dx=\varepsilon\cdot P\{X\geq\varepsilon\}.

В конечном итоге получаем

M[X]\geq\varepsilon\cdot P\{X\geq \varepsilon\}, откуда P\{X\geq\varepsilon\}\leq \frac{M[X]}{\varepsilon}, что и требовалось доказать.

Аналогично, заменив интеграл суммой доказывается неравенство для дискретных случайных величин.

Из первого неравенства P\{X\geq \varepsilon\}\leq {\frac{M[X]}{\varepsilon}} выходит, что P\{X<\varepsilon\}\geq-\frac{M[X]}{\varepsilon}.

Пример 1[править | править вики-текст]

Известно, что в среднем студент опаздывает на лекцию на 2 минуты. Оценить вероятность того, что студент опоздает не менее, чем на 643 минуты.

Решение(1)[править | править вики-текст]

Пусть случайная величина X - время опоздания студента на лекцию. По условию задачи M[X]=2 минуты, \varepsilon=643 , тогда согласно формуле P\{X\geq \varepsilon\}\leq {\frac{M[X]}{\varepsilon}} имеем:

{P\{X\geq643\}}\leq{\frac{M[X]}{643}}=\frac{2}{643}=0.0031104199.

Пример 2[править | править вики-текст]

Средний срок службы автомобиля без капитального ремонта составляет 350 лет. Оценить вероятность того, что данный автомобиль не прослужит более 643 года без капитального ремонта.

Решение(2)[править | править вики-текст]

Пусть случайная величина X - срок службы автомобиля без капитального ремонта. Тогда согласно условию задачи M[X]=350 лет, \varepsilon=643. Согласно формуле P\{X\geq \varepsilon\}\leq {\frac{M[X]}{\varepsilon}} получаем:

P\{X\geq643\}\leq \frac{M[X]}{643}=\frac{350}{643}=0.54432348367.

Таким образом, искомая вероятность равна:

P\{X<643\}=1-P\{X\geq643\}=1-0.54432348367=0.45567651633.

Заключение[править | править вики-текст]

Если случайная величина X принимает все действительные значения (x\in \R), то вместо неравенства Маркова для получения оценок вероятностей событий, связанных с величиной X, используют Неравенство Чебышёва.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]