Моменты случайной величины

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Моме́нт случа́йной величины́ — числовая характеристика распределения данной случайной величины.

Определения[править | править исходный текст]

Если дана случайная величина \displaystyle X, определённая на некотором вероятностном пространстве, то:

  • \displaystyle kнача́льным моментом случайной величины \displaystyle X, где k \in \mathbb{N}, называется величина
\nu_k = \mathbb{E}\left[X^k\right],
если математическое ожидание \mathbb{E}[*] в правой части этого равенства определено;
  • \displaystyle kцентра́льным моментом случайной величины \displaystyle X называется величина
\mu_k = \mathbb{E}\left[(X - \mathbb{E}X)^k\right],
  • \displaystyle kабсолю́тным и \displaystyle kцентральным абсолютным моментами случайной величины \displaystyle X называется соответственно величины
\nu_k = \mathbb{E}\left[|X|^k\right] и \mu_k = \mathbb{E}\left[|X - \mathbb{E}X|^k\right],
  • \displaystyle kфакториальным моментом случайной величины \displaystyle X называется величина
\mu_k = \mathbb{E}\left[X(X-1)...(X-k+1)\right],
если математическое ожидание в правой части этого равенства определено.[1]

Абсолютные моменты могут быть определены не только для целых k, но и для любых положительных действительных в случае, если соответствующие интегралы сходятся.

Замечания[править | править исходный текст]

  • Если определены моменты \displaystyle k-го порядка, то определены и все моменты низших порядков 1 \leqslant k' < k.
  • В силу линейности математического ожидания центральные моменты могут быть выражены через начальные, и наоборот. Например:
\displaystyle \mu_1 = 0,
\displaystyle \mu_2 = \nu_2-\nu_1^2,
\displaystyle \mu_3 = \nu_3-3\nu_1 \nu_2 + 2 \nu_1^3,
\displaystyle \mu_4 = \nu_4 - 4 \nu_1 \nu_3 + 6 \nu_1^2 \nu_2 - 3 \nu_1^4, и т. д.

Геометрический смысл некоторых моментов[править | править исходный текст]

  • \displaystyle \nu_1 равняется математическому ожиданию случайной величины и показывает относительное расположение распределения на числовой прямой.
  • \displaystyle \mu_2 равняется дисперсии распределения \displaystyle (\mu_2=\sigma^2) и показывает разброс распределения вокруг среднего значения.
  • \displaystyle \mu_3, будучи соответствующим образом нормализован, является числовой характеристикой симметрии распределения. Более точно, выражение
\frac{\mu_3}{\sigma^3}
называется коэффициентом асимметрии.
  • \displaystyle \mu_4 контролирует, насколько ярко выражена вершина распределения в окрестности среднего. Величина
\frac{\mu_4}{\sigma^4}-3
называется коэффициентом эксцесса куртозиса распределения \displaystyle X.

Вычисление моментов[править | править исходный текст]

\nu_k = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x^k\, f(x)\, dx,

если  \nu_k = \int\limits_{-\infty}^{\infty} |x|^k\, f(x)\, dx<{+\infty} ,

а для дискретного распределения с функцией вероятности \displaystyle p(x):
\nu_k = \sum\limits_{x} x^k\, p(x),

если \nu_k = \sum\limits_{x} |x|^k\, p(x)<{+\infty}.

\nu_k = \left.(-i)^k \frac{d^k}{dt^k} \phi(t)\right\vert_{t=0}.
  • Если распределение таково, что для него в некоторой окрестности нуля определена производящая функция моментов \displaystyle M(t), то моменты могут быть вычислены по следующей формуле:
\nu_k = \left.\frac{d^k}{dt^k}M(t)\right\vert_{t=0}.

Обобщения[править | править исходный текст]

Можно также рассматривать нецелые значения k. Момент, рассматриваемый как функция от аргумента k, называется преобразованием Меллина.

Можно рассматривать моменты многомерной случайной величины. Тогда первый момент будет вектором той же размерности, второй — тензором второго ранга (см. матрица ковариации) над пространством той же размерности (хотя можно рассматривать и след этой матрицы, дающий скалярное обобщение дисперсии). И т. д.

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Г. Крамер. Математические методы статистики. — 2-е изд. — М.: Мир, 1975. — С. 196-197, 284. — 648 с.