Производящая функция моментов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Производя́щая фу́нкция моме́нтов — способ задания вероятностных распределений. Используется чаще всего для вычисления моментов.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть есть случайная величина с распределением . Тогда её производящей функцией моментов называется функция, имеющая вид:

.

Пользуясь формулами для вычисления математического ожидания, определение производящей функции моментов можно переписать в виде:

,

то есть производящая функция моментов — это двустороннее преобразование Лапласа плотности распределения случайной величины (с точностью до отражения).

Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величины[править | править вики-текст]

Если случайная величина дискретна, то есть , то

.

Пример. Пусть имеет распределение Бернулли. Тогда

.

Если случайная величина абсолютно непрерывна, то есть она имеет плотность , то

.

Пример. Пусть имеет стандартное непрерывное равномерное распределение. Тогда

.

Свойства производящих функций моментов[править | править вики-текст]

Свойства производящих функций моментов во многом аналогичны свойствам характеристических функций в силу похожести их определений.

  • Производящая функция моментов однозначно определяет распределение. Пусть суть две случайные величины, и . Тогда . В частности, если обе величины абсолютно непрерывны, то совпадение производящих функций моментов влечёт совпадение плотностей. Если обе случайные величины дискретны, то совпадение производящих функций моментов влечёт совпадение функций вероятности.
  • Производящая функция моментов как функция случайной величины однородна:
.
  • Производящая функция моментов суммы независимых случайных величин равна произведению их производящих функций моментов. Пусть суть независимые случайные величины. Обозначим . Тогда
.

Вычисление моментов[править | править вики-текст]

.

См. также[править | править вики-текст]