Порождающее множество группы

Порождающее множество группы — это такое её подмножество, что каждый её элемент может быть представлен в виде конечного произведения элементов из этого подмножества и их обратных. Также используются термины множество образующих и система образующих.

Одна и та же группа может иметь много разных порождающих множеств. Указание порождающего множества позволяет ввести на группе структуру графа Кэли. Кроме того, группы можно задавать, указывая порождающие множества и соотношения между ними.

Определение

Пусть $S$ — подмножество группы $G$. Подгруппой, порождённой множеством $S$, называется множество $\langle S\rangle$ всех элементов, которые могут быть представлены в виде конечного произведения элементов из $S$ и их обратных. (другими словами, в G нет хотя бы одной собственной подгруппы, содержащей S) Если $S$ пусто, то, по-определению, $\langle S\rangle$ является тривиальной подгруппой, состоящей только из нейтрального элемента.

Если $G=\langle S\rangle$, то говорят, что $S$ порождает группу $G$. При этом множество $S$ называется порождающим, а его элементы — образующими или генераторами (от англ. generators) группы.

Любая группа имеет хотя бы одно порождающее множество: $G=\langle G\rangle$.

Если в группе $G$ можно выбрать конечное множество образующих, то её называют конечно порождённой. Мощность наименьшего порождающего множества группы называется её рангом.

Например, циклические группы — это в точности группы ранга один.

Замечания

• Множество $\langle S\rangle$ совпадает с пересечением всех подгрупп группы $G$, содержащих $S$, и является наименьшей подгруппой в $G$, содержащей $S$.

• Если $S$ состоит только из одного элемента $x$, обычно пишут $\langle x\rangle$ вместо $\langle \{x\}\rangle$. В таком случае $\langle x\rangle$ — циклическая подгруппа, состоящая из всех степеней элемента $x$.

Порождающие полугруппы и моноида

Для случая, когда $G$ является полугруппой или моноидом, тоже можно ввести аналогичное понятие порождающего множества: $S$ порождает $G$ как полугруппу или моноид, если $G$ является минимальной полугруппой или минимальным моноидом соответственно, содержащим $S$.

Такое определение тоже можно изложить на языке представимости элемента в виде комбинации. Для полугруппы можно сказать, что $S$ является порождающим множеством, если каждый элемент $G$ можно представить как конечное произведение элементов из $S$. Для моноида можно сказать, что $S$ является порождающим множеством, если каждый элемент $G$, кроме нейтрального, можно представить как конечное произведение элементов из $S$.

Из-за разницы определений одно и то же множество может быть порождающим в одном смысле, но не быть в другом. Например, для моноида неотрицательных целых чисел $(\mathbb {N} _{\geq 0},+)$ порождающим множеством будет $S=\{1\}$, но для полугруппы $(\mathbb {N} _{\geq 0},+)$ $S$ уже не является порождающим множеством, так как 0 нельзя представить в виде суммы единиц. Аналогично, для $\mathbb {Z}$ как группы $\{1\}$ является порождающим множеством, а для моноида — нет, так как в определении порождающего множества для моноида не включено взятие обратных.

Литература

• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968. — 564 с.
• Курош А. Г. Теория групп. — М.: Наука, 1967. — 648 с.
• Введение в алгебру часть 1 Основы алгебры 149 с.