Нейтральный элемент

Запрос «Единичный элемент» перенаправляется сюда; про элемент «1» в кольцах и алгебрах см. единица (алгебра).

Нейтра́льный элеме́нт бинарной операции — элемент, который оставляет любой другой элемент неизменным при применении этой бинарной операции к этим двум элементам.

Определение

Пусть $(M,\cdot )$ — множество $M$ с определённой на нём бинарной операцией «$\cdot$». Элемент $e\in M$ называется нейтральным относительно $\cdot$ (умножения), если

$x\cdot e=e\cdot x=x,\quad \forall x\in M$.

В случаях некоммутативных операций, вводят левый нейтральный элемент $e_{\mathrm {l} }$, для которого

$e_{\mathrm {l} }\cdot x=x,\quad \forall x\in M$,

и правый нейтральный элемент $e_{\mathrm {r} }$, для которого

$x\cdot e_{\mathrm {r} }=x,\quad \forall x\in M$.

В общем случае может существовать произвольное количество элементов, нейтральных слева или справа. Если одновременно существуют и нейтральный слева элемент $e_{\mathrm {l} }$, и нейтральный справа элемент $e_{\mathrm {r} }$, то они обязаны совпадать (так как $e_{\mathrm {r} }=e_{\mathrm {l} }\cdot e_{\mathrm {r} }=e_{\mathrm {l} }$).

Примеры

Множество	Бинарная операция	Нейтральный элемент
Вещественные числа	$+$ (сложение)	число 0
Вещественные числа	$\cdot$ (умножение)	число 1
Вещественные числа	$-$ (вычитание)	число 0 (нейтральный справа)
Вещественные числа	$a^{b}$ (возведение в степень)	число 1 (нейтральный справа)
Расширенная числовая прямая	$\div$ (деление)	число 1 (нейтральный справа)
Векторное пространство	$+$ (сложение векторов)	${\vec {0}}$ (нуль-вектор)
Матрицы размера $m\times n$	$+$ (матричное сложение)	нулевая матрица
Матрицы размера $n\times n$	$\times$ (матричное произведение)	единичная матрица
Функции вида $f:M\to M$	$\circ$ (композиция функций)	тождественное отображение
Символьные строки	конкатенация	пустая строка
Расширенная числовая прямая	$\min$ (минимум) или $\inf$ (инфимум)	$+\infty$
Расширенная числовая прямая	$\max$ (максимум) или $\sup$ (супремум)	$-\infty$
Подмножества множества $M$	$\cap$ (пересечение множеств)	$M$
Множества	$\cup$ (объединение множеств)	$\varnothing$ (пустое множество)
Исчисление высказываний	$\wedge$ (конъюнкция)	$\top$ (истина)
Исчисление высказываний	$\lor$ (дизъюнкция)	$\bot$ (ложь)

Терминология

В алгебре

В приведённой в определении мультипликативной нотации нейтральный элемент принято называть единичным элементом или просто единицей по аналогии с одноимённым числом. См. статью «единица (алгебра)» о двусторонних нейтральных элементах умножения в кольцах, полях, и алгебрах над ними.

Если речь идёт о нейтральном элементе операции, обозначаемой (и называемой) сложением, то нейтральный элемент называют нулём, опять-таки по аналогии с одноимённым числом. Сложением называют не только операцию в теории колец и линейной алгебре, но, обычно, и групповую операцию в абелевых группах в аддитивной нотации.

В теории решёток

В теории решёток нейтральный элемент операции «∨» обозначается «0», а нейтральный элемент операции «∧» обозначается «1».

См. также

• Поглощающий элемент (математика)
• Обратный элемент
• Моноид
• Группа

Ссылки

• Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов. — М.: Высш. школа, 1979. — 559 с. стр 77 "Нейтральные элементы"
• http://www.algebraical.info/doku.php?id=glossary:element:groupoid:identity  (рус.)
• http://mathforum.org/library/drmath/view/56032.html  (рус.)
• https://brilliant.org/wiki/identity-element/  (англ.)
• Weisstein, Eric W. "Identity Element." From MathWorld--A Wolfram Web Resource (англ.)