Нейтральный элемент

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Нейтра́льный элеме́нт бинарной операции — элемент, который оставляет любой другой элемент неизменным при применении этой бинарной операции к этим двум элементам.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть  — множество с определённой на нём бинарной операцией «». Элемент называется нейтральным относительно (умножения), если

Иногда различают нейтральный слева элемент , для которого

и нейтральный справа элемент , для которого

Нейтральные слева и справа[править | править вики-текст]

В общем случае может существовать произвольное количество элементов, нейтральных слева или справа. Если одновременно существуют и нейтральный слева элемент , и нейтральный справа элемент , то они обязаны совпадать (так как ).

Примеры[править | править вики-текст]

Множество Бинарная операция Нейтральный элемент
Вещественные числа (сложение) число 0
Вещественные числа (умножение) число 1
Вещественные числа (вычитание) число 0 (нейтральный справа)
Вещественные числа (возведение в степень) число 1 (нейтральный справа)
Расширенная числовая прямая (деление) число 1 (нейтральный справа)
Векторное пространство (сложение векторов) (нуль-вектор)
Матрицы размера (матричное сложение) нулевая матрица
Матрицы размера (матричное произведение) единичная матрица
Функции вида (композиция функций) тождественное отображение
Символьные строки конкатенация пустая строка
Расширенная числовая прямая (минимум) или (инфимум)
Расширенная числовая прямая (максимум) или (супремум)
Подмножества множества (пересечение множеств)
Множества (объединение множеств) (пустое множество)
Исчисление высказываний (конъюнкция) (истина)
Исчисление высказываний (дизъюнкция) (ложь)

Терминология[править | править вики-текст]

В алгебре[править | править вики-текст]

В приведённой в определении мультипликативной нотации нейтральный элемент принято называть единичным элементом или просто единицей по аналогии с одноимённым числом. См. статью «единица (алгебра)» о двусторонних нейтральных элементах умножения в кольцах, полях, и алгебрах над ними.

Если речь идёт о нейтральном элементе операции, обозначаемой (и называемой) сложением, то нейтральный элемент называют нулём, опять-таки по аналогии с одноимённым числом. Сложением называют не только операцию в теории колец и линейной алгебре, но и (иногда) групповую операцию в абелевых группах.

В теории решёток[править | править вики-текст]

В теории решёток, нейтральный элемент операции «∨» обозначается «0», а нейтральный элемент операции «∧» обозначается «1».

См. также[править | править вики-текст]