Обратный элемент

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Обра́тный элеме́нт — одно из понятий общей алгебры.

Определения[править | править вики-текст]

  • Пусть множество с определённой на нём бинарной операцией . Пусть — произвольный элемент множества . Если справедливо равенство
        
    где , а - нейтральный элемент относительно операции , то называется обра́тным спра́ва к .
  • Аналогичным образом, если выполнено
        
    то называется обра́тным сле́ва к .
  • Элемент , являющийся обратным к и справа, и слева, то есть такой, что
        
    называется просто обратным к и обозначается .
  • Элемент, для которого существует обратный элемент, называется обратимым.

Замечания[править | править вики-текст]

  • Приведённое выше определение дано в мультипликативной нотации. Если используется аддитивная нотация , то обратный элемент называется противополо́жным и обозначается .
  • Вообще говоря, один и тот же элемент может иметь несколько обратных слева элементов и несколько обратных справа элементов, и последние не обязаны пересекаться.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Пусть операция ассоциативна. Тогда если для элемента определены обратный слева и обратный справа элементы, то они равны и единственны.

Примеры[править | править вики-текст]

Множество Бинарная операция Обратный элемент
Вещественные числа (сложение) (противоположное число)
Вещественные числа не равные нулю (умножение) (обратное число)
Функции вида (композиция функций) (обратная функция)

См. также[править | править вики-текст]