Полигамма-функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Дигамма-функция
Тригамма-функция
Тетрагамма-функция
Пентагамма-функция

Полига́мма-фу́нкция порядка m в математике определяется как (m+1)-я производная натурального логарифма гамма-функции,

где гамма-функция, а

дигамма-функция, которую также можно определить через сумму следующего ряда:

где постоянная Эйлера—Маскерони. Это представление справедливо для любого комлексного (в указанных точках функция имеет сингулярности первого порядка).

Полигамма-функцию также можно определить через сумму ряда

который получается из представления для дигамма-функции дифференцированием по z. Это представление также справедливо для любого комлексного (в указанных точках функция имеет сингулярности порядка (m+1)). Оно может быть записано через дзета-функцию Гурвица,

В этом смысле дзета-функция Гурвица может быть использована для обобщения полигамма-функции на случай произвольного (нецелого) порядка m.

Отметим, что в литературе иногда обозначается как или явным образом указываются штрихи для производных по z. Функция называется тригамма-функцией, — тетрагамма-функцией, — пентагамма-функцией, — гексагамма-функцией, и т.д.

Интегральное представление[править | править вики-текст]

Полигамма-функция может быть представлена как

Это представление справедливо для Re z >0 и m > 0. При m=0 (для дигамма-функции) интегральное представление может быть записано в виде

где постоянная Эйлера—Маскерони.

Асимптотические разложения[править | править вики-текст]

При () справедливо следующее разложение с использованием чисел Бернулли:

Разложение в ряд Тейлора вблизи аргумента, равного единице, имеет вид

где ζ обозначает дзета-функцию Римана. Этот ряд сходится при |z| < 1, и он может быть получен из соответствующего ряда для дзета-функции Гурвица.

Частные значения[править | править вики-текст]

Значения полигамма-функции при целых и полуцелых значениях аргумента выражаются через дзета-функцию Римана,

а для дигамма-функции (при m=0) —

где постоянная Эйлера—Маскерони.

Чтобы получить значения полигамма-функции при других целых (положительных) и полуцелых значениях аргумента, можно использовать рекуррентное соотношение, приведённое ниже.

Другие формулы[править | править вики-текст]

Полигамма-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению

а также формуле дополнения

Для полигамма-функции кратного аргумента существует следующее свойство:

а для дигамма-функции () к правой части надо добавить lnk,

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]