Проверка статистических гипотез

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Проверка статистических гипотез является содержанием одного из обширных классов задач математической статистики[1].

Статистическая гипотеза — предположение о виде распределения и свойствах случайной величины, которое можно подтвердить или опровергнуть применением статистических методов к данным выборки[1].

Статистические гипотезы[править | править вики-текст]

Определения[править | править вики-текст]

Пусть в (статистическом) эксперименте доступна наблюдению случайная величина , распределение которой полностью или частично неизвестно. Тогда любое утверждение, относительно называется статистической гипотезой. Гипотезы различают по виду предположений, содержащихся в них:

  • Статистическая гипотеза, однозначно определяющая распределение , то есть , где какой-то конкретный закон, называется простой.
  • Статистическая гипотеза, утверждающая принадлежность распределения к некоторому семейству распределений, то есть вида , где  — семейство распределений, называется сложной.

На практике обычно требуется проверить какую-то конкретную и как правило простую гипотезу . Такую гипотезу принято называть нулевой. При этом параллельно рассматривается противоречащая ей гипотеза , называемая конкурирующей или альтернативной.

Выдвинутая гипотеза нуждается в проверке, которая осуществляется статистическими методами, поэтому гипотезу называют статистической. Для проверки гипотезы используют критерии, позволяющие принять или опровергнуть гипотезу.

В большинстве случаев статистические критерии основаны на случайной выборке фиксированного объема для распределения . В последовательном анализе выборка формируется в ходе самого эксперимента и потому её размер является случайной величиной (см. Последовательный статистический критерий).

Пример[править | править вики-текст]

Пусть дана независимая выборка из нормального распределения, где  — неизвестный параметр. Тогда , где  — фиксированная константа, является простой гипотезой, а конкурирующая с ней  — сложной.

Этапы проверки статистических гипотез[править | править вики-текст]

  1. Формулировка основной гипотезы и конкурирующей гипотезы .
  2. Задание уровня значимости , на котором в дальнейшем и будет сделан вывод о справедливости гипотезы. Он равен вероятности допустить ошибку первого рода.
  3. Расчёт статистики критерия такой, что:
    • её величина зависит от исходной выборки ;
    • по её значению можно делать выводы об истинности гипотезы ;
    • статистика , как функция случайной величины , также является случайной величиной и подчиняется какому-то закону распределения.
  4. Построение критической области. Из области значений выделяется подмножество таких значений, по которым можно судить о существенных расхождениях с предположением. Его размер выбирается таким образом, чтобы выполнялось равенство . Это множество и называется критической областью.
  5. Вывод об истинности гипотезы. Наблюдаемые значения выборки подставляются в статистику и по попаданию (или непопаданию) в критическую область выносится решение об отвержении (или принятии) выдвинутой гипотезы .

Виды критической области[править | править вики-текст]

Выделяют три вида критических областей:

  • Двусторонняя критическая область определяется двумя интервалами , где находят из условий .
  • Левосторонняя критическая область определяется интервалом , где находят из условия .
  • Правосторонняя критическая область определяется интервалом , где находят из условия .

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Ивановский Р. Теория вероятностей и математическая статистика. Основы, прикладные аспекты с примерами и задачами в среде Mathcad. — 528 с. — (Учебное пособие). — ISBN 978-5-9775-0199-.