Проверка статистических гипотез

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Проверка статистических гипотез является содержанием одного из обширных классов задач математической статистики[1].

Статистическая гипотеза — предположение о виде распределения и свойствах случайной величины, которое можно подтвердить или опровергнуть применением статистических методов к данным выборки[1].

Статистические гипотезы[править | править вики-текст]

Определения[править | править вики-текст]

Пусть в (статистическом) эксперименте доступна наблюдению случайная величина X, распределение которой \mathbb{P} полностью или частично неизвестно. Тогда любое утверждение, относительно \mathbb{P}, называется статистической гипотезой. Гипотезы различают по виду предположений, содержащихся в них:

  • Статистическая гипотеза, однозначно определяющая распределение \mathbb{P}, то есть H:\;\{\mathbb{P}= \mathbb{P}_0\}, где \mathbb{P}_0 какой-то конкретный закон, называется простой.
  • Статистическая гипотеза, утверждающая принадлежность распределения \mathbb{P} к некоторому семейству распределений, то есть вида H:\;\{\mathbb{P}\in \mathcal{P}\}, где \mathcal{P} — семейство распределений, называется сложной.

На практике обычно требуется проверить какую-то конкретную и как правило простую гипотезу H_0. Такую гипотезу принято называть нулевой. При этом параллельно рассматривается противоречащая ей гипотеза H_1, называемая конкурирующей или альтернативной.

Выдвинутая гипотеза нуждается в проверке, которая осуществляется статистическими методами, поэтому гипотезу называют статистической. Для проверки гипотезы используют критерии, позволяющие принять или опровергнуть гипотезу.

В большинстве случаев статистические критерии основаны на случайной выборке (X_1,X_2,\dots,X_n) фиксированного объема n\geq 1 для распределения \mathbb P. В последовательном анализе выборка формируется в ходе самого эксперимента и потому её размер является случайной величиной (см. Последовательный статистический критерий).

Пример[править | править вики-текст]

Пусть дана независимая выборка (X_1,\ldots,X_n) \sim \mathcal{N}(\mu, 1) из нормального распределения, где \mu — неизвестный параметр. Тогда H_0:\;\{\mu = \mu_0\}, где \mu_0 — фиксированная константа, является простой гипотезой, а конкурирующая с ней H_1:\;\{\mu > \mu_0\} — сложной.

Этапы проверки статистических гипотез[править | править вики-текст]

  1. Формулировка основной гипотезы H_0 и конкурирующей гипотезы H_1.
  2. Задание уровня значимости \alpha, на котором в дальнейшем и будет сделан вывод о справедливости гипотезы. Он равен вероятности допустить ошибку первого рода.
  3. Расчёт статистики \phi критерия такой, что:
    • её величина зависит от исходной выборки \mathbf{X}=(X_1,\ldots,X_n): \; \phi=\phi(X_1,\ldots,X_n) ;
    • по её значению можно делать выводы об истинности гипотезы H_0;
    • статистика \phi, как функция случайной величины \mathbf{X}, также является случайной величиной и подчиняться какому-то закону распределения.
  4. Построение критической области. Из области значений \phi выделяется подмножество \mathbb{C} таких значений, по которым можно судить о существенных расхождениях с предположением. Его размер выбирается таким образом, чтобы выполнялось равенство P(\phi\in\mathbb{C})=\alpha. Это множество \mathbb{C} и называется критической областью.
  5. Вывод об истинности гипотезы. Наблюдаемые значения выборки подставляются в статистику \phi и по попаданию (или непопаданию) в критическую область \mathbb{C} выносится решение об отвержении (или принятии) выдвинутой гипотезы H_0.

Виды критической области[править | править вики-текст]

Выделяют три вида критических областей:

  • Двусторонняя критическая область определяется двумя интервалами (-\infty,\;x_{\alpha/2})\cup(x_{1-\alpha/2}\;+\infty), где x_{\alpha/2},\; x_{1-\alpha/2} находят из условий P(\phi<x_{\alpha/2})=\frac{\alpha}{2}, \quad P(\phi<x_{1-\alpha/2})=1-\frac{\alpha}{2}.
  • Левосторонняя критическая область определяется интервалом (-\infty,\; x_\alpha), где x_\alpha находят из условия P(\phi<x_\alpha)=\alpha.
  • Правосторонняя критическая область определяется интервалом (x_{1-\alpha},\;+\infty), где x_{1-\alpha} находят из условия P(\phi<x_{1-\alpha})=1-\alpha.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Ивановский Р. Теория вероятностей и математическая статистика. Основы, прикладные аспекты с примерами и задачами в среде Mathcad. — 528 с. — (Учебное пособие). — ISBN 978-5-9775-0199-.