Область целостности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Диаграмма включения некоторых классов колец:
коммутативные кольца
целостные кольца
факториальные кольца
области главных идеалов
евклидовы кольца
поля

Область целостности (или целостное кольцо, или область цельности или просто область) — понятие коммутативной алгебры: коммутативное кольцо без делителей нуля (произведение никакой пары ненулевых элементов не равно 0).

Эквивалентное определение: область целостности — это коммутативное кольцо, в котором нулевой идеал {0} является простым. Любая область целостности является подкольцом своего поля частных.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Простейший пример области целостности — кольцо целых чисел .
  • Любое поле является областью целостности. С другой стороны, любая артинова область целостности есть поле. В частности, все конечные области целостности суть конечные поля.
  • Кольцо многочленов с коэффициентами из некоторого целостного кольца также является целостным. Например, целостными будут кольцо многочленов одной переменной с целочисленными коэффициентами и кольцо многочленов двух переменных с вещественными коэффициентами. Также является целостным кольцо формальных степенных рядов с коэффициентами из целостного кольца.
  • Множество действительных чисел вида есть подкольцо поля , а значит, и область целостности. То же самое можно сказать про множество комплексных чисел вида , где и целые (множество гауссовых целых чисел).
  • Пусть  — связное открытое подмножество комплексной плоскости . Тогда кольцо всех голоморфных функций будет целостным. То же самое верно для любого кольца аналитических функций, определённых на связном подмножестве аналитического многообразия.
  • Если  — коммутативное кольцо, а  — идеал в , то факторкольцо целостное тогда и только тогда, когда  — простой идеал.

Делимость, простые и неприводимые элементы[править | править вики-текст]

Пусть и  — элементы целостного кольца . Говорят, что « делит » или « — делитель » (и пишут ), тогда и только тогда, когда существует элемент такой, что .

Делимость транзитивна: если делит и делит , то делит . Если делит и , то делит также их сумму и разность .

Для кольца с единицей делители единицы, то есть элементы , делящие 1, называются также (алгебраическими) единицами. Они и только они в имеют обратный элемент, так что делители единицы называются также обратимыми элементами. Обратимые элементы делят все остальные элементы кольца.

Элементы и называются ассоциированными, если a делит и делит . и ассоциированны тогда и только тогда, когда , где  — обратимый элемент.

Ненулевой элемент , не являющийся единицей называется неприводимым, если его нельзя разложить в произведение двух элементов, не являющихся единицами.

Ненулевой необратимый элемент называется простым, если из того, что , следует или . Это определение обобщает понятие простого числа в кольце , однако учитывает и отрицательные простые числа. Если  — простой элемент кольца, то порождаемый им главный идеал будет простым. Любой простой элемент неприводим, но обратное верно не во всех областях целостности.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Любое поле, а также любое кольцо с единицей, содержащееся в некотором поле, является областью целостности.
    • Обратно, любая область целостности может быть вложена в некоторое поле. Такое вложение даёт конструкция поля частных.
  • Прямое произведение колец никогда не бывает областью целостности, так как единица первого кольца, умноженная на единицу второго кольца, даст 0.
  • Тензорное произведение[en] целостных колец тоже будет целостным кольцом.
  • Характеристика области целостности является либо нулём, либо простым числом.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Иногда в определении области целостности не требуют коммутативности. Примерами некоммутативных областей целостности являются тела, а также подкольца тел, содержащие единицу, например целые кватернионы. Однако неверно, что любая некоммутативная область целостности может быть вложена в некоторое тело.

Литература[править | править вики-текст]

  • Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.