Спектр кольца

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Спектром коммутативного кольца R называется множество всех простых идеалов этого кольца. Обычно спектр снабжается топологией Зарисского и пучком коммутативных колец, что делает его локально окольцованным пространством. Спектр кольца R (далее под словом «кольцо» подразумевается «коммутативное кольцо с единицей») обозначается \operatorname{Spec}\, R.

Топология Зарисского[править | править исходный текст]

Топологию на спектре кольца можно ввести двумя эквивалентными способами, и оба способа активно используются в алгебраической геометрии.

1 способ. Первый способ ввести топологию Зарисского на спектре кольца — указать базу топологии. Базой служат подмножества спектра вида D_f = \{\mathfrak{p}\in \operatorname{Spec}\, R: f\notin \mathfrak{p}\}, где f — произвольный элемент кольца R.

Легко проверяются следующие утверждения:

D_1 = \operatorname{Spec}\, R
D_f\cap D_g = D_{fg}

Из этих формул следует, что семейство всех подмножеств вида D_f является покрытием спектра, замкнутым относительно пересечений, то есть является базой некоторой топологии.

Спектр кольца не является хаусдорфовым пространством. С другой стороны, спектр любого кольца удовлетворяет аксиоме отделимости T0 и является компактом.

Для доказательства компактности достаточно проверить, что из покрытия элементами базы можно выбрать конечное подпокрытие. Если система множеств \{D_f: f\in A\} является покрытием спектра, это означает, что идеал кольца R, порождённый множеством A, содержит единицу. То есть справедливо равенство: 1 = k_1a_1+k_2a_2 + \cdots + k_na_n, в котором a_i являются элементами множества A, а k_i — некоторые элементы кольца R. Но тогда \{D_{f_1},D_{f_2},\cdots,D_{f_n}\} — искомое конечное подпокрытие спектра. Аналогично доказывается компактность множеств D_f. (Следует заметить, что в отсутствие хаусдорфовости, компактное подмножество не обязано быть замкнутым!)

2 способ. Второй способ ввести топологию Зарисского на спектре кольца — указать все замкнутые подмножества. Замкнутыми множествами спектра являются множества вида

V(\mathfrak{a})=\{\mathfrak{p}\in \operatorname{Spec}\, R: \mathfrak{a}\subset\mathfrak{p}\}, где \mathfrak{a} — произвольный (не обязательно простой) идеал кольца R.

Легко проверяются следующие формулы:

V(\mathfrak{a})\cup V(\mathfrak{b}) = V(\mathfrak{a}\mathfrak{b}), где  \mathfrak{a} \mathfrak{b}  — произведение соответствующих идеалов.
\cap_{\alpha}V(\mathfrak{a_{\alpha}}) = V(\sum_{\alpha}\mathfrak{a_{\alpha}})
V((0)) = \operatorname{Spec}\, R
V((1)) = \emptyset,

из которых следует, что семейство множеств вида V(\mathfrak{a}) удовлетворяет аксиомам системы всех замкнутых множеств топологического пространства. Открытыми множествами являются дополнения к этим множествам.

При таком описании топологии легко видеть, что если \mathfrak{p}_1\subset\mathfrak{p}_2 — два простых идеала, то точка \mathfrak{p}_2 лежит в замыкании точки \mathfrak{p}_1. Таким образом, замкнутыми точками в топологии Зарисского являются максимальные идеалы и только они.

Эквивалентность топологий. Для доказательства эквивалентности обеих топологий, достаточно проверить формулы:

V(\mathfrak{a})^c = \cup_{f\in \mathfrak{a}}D_f
\, D_f = V((f))^c, где V^c обозначает дополнение множества V, а (f) — идеал, порождённый элементом f.

Первая из этих формул означает, что подмножество спектра, открытое относительно второй топологии, является открытым и в первой, а вторая — что все множества, составляющие базу первой топологии, являются открытыми и во второй (а следовательно, являются открытыми и все объединения этих множеств).

Структурный пучок и схемы[править | править исходный текст]

Структурный пучок на спектре задаётся следующим образом: каждому открытому множеству D_f из базы сопоставляется локализация кольца R по мультипликативной системе {1, f, f2, f3,…}. Напомним, что элементы этой локализации — формальные дроби вида p/q, такие что q является степенью f. Соответственно, открытому множеству \cup_i D_{f_i} сопоставляется локализация по мультипликативной системе, порождённой f_i.

Одно и то же открытое множество может быть представлено в виде \cup_i D_{f_i} многими способами, однако можно показать, что локализация кольца не зависит от выбора такого представления, а также проверить, что выполняются все остальные свойства пучка.

В случае, когда R является целостным кольцом с полем частных K, структурный пучок можно описать более конкретно. Элемент f/g\in K называется регулярным в точке \mathfrak{p}\in \operatorname{Spec}\, R, если он может быть представлен в виде дроби f/g знаменатель которой не принадлежит \mathfrak{p}. Соответственно, открытому множеству U сопоставляется множество элементов K, регулярных в каждой точке U; можно проверить, что это множество замкнуто относительно сложения и умножения, то есть образует кольцо. Построение отображений ограничения в этом случае также более очевидно: если U^'\in U, то элемент поля частных, регулярный в каждой точке U, регулярен и в каждой точке U^'.

Слой получившегося пучка \mathcal O в точке \mathfrak{p} совпадает с локализацией R_{\mathfrak{p}} кольца R по простому идеалу \mathfrak{p}, это кольцо локально. Следовательно, спектр кольца действительно является локально окольцованным пространством.

Локально окольцованное пространство, которое можно получить таким образом, называется аффинной схемой. Общие схемы получаются «склейкой» нескольких аффинных схем.

Функториальность[править | править исходный текст]

Каждому гомоморфизму колец \varphi: A\to B соответствует непрерывное отображение спектров (в противоположном направлении) \varphi^*:\operatorname{Spec}\, B \to \operatorname{Spec}\, A. Действительно, прообраз простого идеала \mathfrak p\in B под действием \varphi является простым идеалом. Для того, чтобы доказать непрерывность этого отображения, достаточно доказать, что прообраз замкнутого множества замкнут. Это следует из равенства

(\varphi^*)^{-1}(V(\mathfrak{a})) = V(\varphi(\mathfrak{a})), где \mathfrak{a} — произвольный идеал кольца A.

Из этого следует, что Spec является контравариантным функтором из категории коммутативных колец в категорию топологических пространств. Более того, отображение \varphi для каждого \mathfrak p\in B индуцирует гомоморфизм локальных колец

\mathcal O_{f^{-1}(\mathfrak p)}\to \mathcal O_{\mathfrak p}

Следовательно, Spec определяет контравариантный функтор в категорию локально окольцованных пространств. Образ этого функтора — в точности аффинные схемы, поэтому категория коммутативных колец (контравариантно) эквивалентна категории аффинных схем.

Мотивировка из алгебраической геометрии[править | править исходный текст]

В алгебраической геометрии изучаются алгебраические многообразия, то есть подмножества пространства Kn (где K — алгебраически замкнутое поле), задаваемые как общие нули некоторого множества многочленов от n переменных. Если A — такое алгебраическое многообразие, рассмотрим коммутативное кольцо полиномиальных функций AK. Тогда максимальные идеалы кольца R соответствуют точкам многообразия A, а простые идеалы — всем неприводимым подмногообразиям A (многообразие называется неприводимым, если его нельзя представить в виде объединения двух меньших многообразий). При этом замыкание подмногообразия состоит из всех его точек и подмногообразий. Более того, определённый выше пучок на спектре фактически совпадает с пучком рациональных функций на алгебраическом многообразии A.

Литература[править | править исходный текст]

  • Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972.
  • Хартсхорн, Алгебраическая геометрия — М.: Мир, 1981.
  • Мамфорд, Красная книга о многообразиях и схемах — М.: МЦНМО, 2007.