Пфаффово уравнение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Пфа́ффово уравнение — уравнение вида , где дифференциальная 1-форма (пфаффова форма) на касательном расслоении многообразия размерности . Названы в честь немецкого математика Иоганна Фридриха Пфаффа.

Если на многообразии введены (локальные) координаты , то пфаффово уравнение (локально) имеет вид

где — скалярные функции, заданные на . Простейшим примером является дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в так называемой симметричной форме:

.

Пфаффова система[править | править вики-текст]

Пфа́ффова система (система пфаффовых уравнений) — система уравнений вида , где — дифференциальные 1-формы на касательном расслоении многообразия размерности . В координатах пфаффова система имеет вид

Рангом пфаффовой системы в точке называется число , равное рангу матрицы . Обычно бывает .

Пфаффова система (*) задает в касательном пространстве векторное подпространство размерности , которое называется допустимым подпространством в данной точке. Построенное таким образом поле допустимых подпространств на называется распределением, соответствующим пфаффовой системе (*). В частности, при распределение является полем направлений на , при распределение является полем двумерных плоскостей, а при распределение является полем гиперплоскостей.

Пфаффовы системы являются обобщением обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка: выбрав среди координат одну (например, ) в качестве «независимой переменной» и разделив уравнения системы (*) на , получаем систему ОДУ первого порядка:

где .

Геометрически, переход от системы (*) к системе (**) означает переход от однородных координат к неоднородным координатам в проективизированных касательных пространствах к многообразию .

Интегрирование пфаффовых систем[править | править вики-текст]

Основная задача, связанная с пфаффовыми системами, состоит в нахождении их интегральных поверхностей — поверхностей (подмногообразий) размерностей в многообразии , на которых удовлетворяются все уравнения системы (*). Геометрически это означает, что интегральная поверхность в каждой точке касается допустимого подпространства, задаваемого системой (*), т.е. касательное пространство к содержится в допустимом подпространстве системы (*).

Пфаффова система (*) постоянного ранга называется вполне интегрируемой, если через каждую точку многообразия проходит интегральная поверхность максимально возможной размерности .

В окрестности любой точки вполне интегрируемая система ранга с помощью выбора подходящих локальных координат на многообразии приводится к каноническому виду

Необходимое и достаточное условие полной интегрируемости даёт теорема Фробениуса. В применении к пфаффовой системе (*) это условие можно выразить следующим образом:

где означает внешний дифференциал 1-формы и означает внешнее произведение форм.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Пфаффово уравнение вполне интегрируемо: его интегральные поверхности — плоскости в трёхмерном пространстве. С помощью замены это уравнение приводится к каноническому виду Условие (***) теоремы Фробениуса в этом случае, очевидно, выполнено, так как
  • Пфаффово уравнение не является вполне интегрируемым. В этом случае и условие (***) теоремы Фробениуса не выполнено:

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Рашевский П.К. Геометрическая теория уравнений с частными производными, — Любое издание.
  • Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений, — Любое издание.