Сумма ряда

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Сумма числового ряда определяется как предел, к которому стремятся суммы первых n слагаемых ряда, когда n неограниченно растёт. Если такой предел существует и конечен, то говорят, что ряд сходится, в противном случае — что он расходится[1]. Элементы ряда представляют собой комплексные числа (в частности, вещественные).

Определение[править | править вики-текст]

Пусть  — числовой ряд. Число называется n-ой частичной суммой ряда .

Сумма (числового) ряда — это предел частичных сумм , если он существует и конечен. Таким образом, если существует число , то в этом случае пишут . Такой ряд называется сходящимся. Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.

Дальнейшим обобщением понятия суммы ряда является понятие суммирующей функции ряда.

Сходимость числовых рядов[править | править вики-текст]

Свойство 1. Если ряд

  (1.1)

сходится и его сумма равна S, то ряд

 (1.2)

где c — произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд (1.1) расходится и с ≠ 0, то ряд (1.2) расходится.

Свойство 2. Если сходится ряд (1.1) и сходится ряд

,

а их суммы равны и соответственно, то сходятся и ряды

,

причём сумма каждого равна соответственно .

Необходимый признак сходимости ряда[править | править вики-текст]

Ряд   может сходиться лишь в том случае, когда член (общий член ряда) стремится к нулю:

Это необходимый признак сходимости ряда (но не достаточный!). Если же общий член ряда не стремится к нулю — это достаточный признак расходимости.

Примеры[править | править вики-текст]

  • где  — сумма геометрической прогрессии, в частности
  • .
  •  — гармонический ряд расходится.
  •  — телескопический ряд.

См. также[править | править вики-текст]

Обобщения числовых рядов[править | править вики-текст]

Признаки сходимости[править | править вики-текст]


Литература[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Указ. соч., глава 11.